a)Ta có : BE là tia phân giác của ∠B (gt)

⇒ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{∠ABC}{2}$

Xét ΔABE và ΔHBE có :

AB = HB (gt)

∠ABE = ∠CBE (cmt)

BE là cạnh chung (Cách Vẽ)

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔABE = ΔHBE (c-g-c)

⇒ ∠BAE = ∠BHE (2 góc tương ứng)             (1)

Mà ∠BAE + ∠BHE = 180 độ (2 góc kề bù)    (2)

      Từ (1) và (2) ⇒∠BAE = ∠BHE = $\frac{180}{2}$ = 90 độ

⇒ EH ⊥ BC (đpcm).

b) Gọi giao điểm của AH và BE là O.

Xét ΔABO và ΔHBO có :

AB = HB (gt)

∠ABO = ∠CBO (cmt)

BO là cạnh chung (Cách Vẽ)

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔABO = ΔHBO (c-g-c)

⇒ ∠BOA = ∠BOH ( 2 góc tương ứng ) và AO = HO ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có : AO = HO (cmt) 

Mà A,O,B thẳng hàng.

 (Gộp cả 2 lại) ⇒ O là trung điểm của AH.

Ta có : ∠BOA = ∠BOH (cmt)

Mà ∠BOA + ∠BOH = 180 độ (2 góc kề bù)

(Gộp cả 2 lại) ⇒ ∠BOA = ∠BOH = $\frac{180}{2}$  = 90 độ.

⇒ AH ⊥ BE.                                                        (1)

Ta lại có : O là trung điểm của AH (cmt).          (2)

           Từ (1) và (2) ⇒ BE là đường trung trực của AH.(Định Nghĩa đường trung trực).

c) Ta có : ΔABE = ΔHBE (cmt)

⇒  AE = HE (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAKE và ΔHCE có :

∠AEK = ∠HEC (2 góc đối đỉnh)

AE = HE (cmt)

∠EAK = ∠EHC (cùng = 90 độ)

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔAKE = ΔHCE (Cạnh Góc Vuông - Góc Nhọn)

⇒ EK = EC (2 cạnh tương ứng).

d) + e) Ta có : ΔAKE = ΔHCE (cmt)

⇒ AK = HC (2 cạnh tương ứng).

Ta có : H ∈ BC (cách vẽ).

⇒ BH + HC = BC.

Ta có : B,A,K thẳng hàng (cách vẽ)

⇒     BA + AK = BK.

Mà : BH + HC = BC.

       : BA = BH (gt)

       : AK = HC (cmt)

(Gộp cả 4 cái trên lại) ⇒ BK = BC.

Gọi giao điểm của BE và KC là I.

Xét ΔBKI và ΔBCI có :

BK = BC (cmt)

∠ABO = ∠CBO (cmt)

BI là cạnh chung.

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔBKI = ΔBCI (c-g-c).

⇒∠BIK = ∠BIC (2 góc tương ứng)

Mà ∠BIK + ∠BIC = 180 độ.

(Gộp cả 2 cái trên) ⇒ ∠BIK = ∠BIC = $\frac{180}{2}$  = 90 độ.

⇒ BE ⊥ KC (đpcm)   (3)

Mà BE ⊥ AH (cmt)     (4)

             Từu (3) và (4) ⇒ AH // KC (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng //)

g) Ta có : BK = BC (cmt)

⇒ ΔKCB là Δ cân tại B (Định Nghĩa Δ Cân).