\(\begin{array}{l}
X: \text{vành tùy ý}\\
\Bbb Z: \text{vành các số nguyên}\\
\text{Trong $X\times \Bbb Z = \{(x,n): x\in X,\ n \in \Bbb Z\}$ có:}\\
(x_1,n_1) + (x_2, n_2) = (x_1 + x_2,n_1 + x_2)\\
(x_1,n_1).(x_2,n_2) = (x_1x_2 + n_1x_2 + n_2x_1, n_1n_2)\\
\text{Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành:}\\
+)\quad \forall (x_1,n_1),(x_2,n_2),(x_3,n_3)\in X\times \Bbb Z,\ \text{ta có:}\\
\quad [(x_1,n_1)+(x_2,n_2)]+(x_3,n_3)\\
= (x_1 + x_2, n_1 + n_2) + (x_3, n_3)\\
= (x_1 + x_2 + x_3,n_1 + n_2 + n_3)\\
= (x_1,n_1) + (x_2 + x_3,n_2+n_3)\\
= (x_1,n_1) + [(x_1,n_2) + (x_3,n_3)]\\
\Rightarrow \text{Phép + có tính chất kết hợp}\\
+)\quad \forall (x,n)\in X\times \Bbb Z\ \text{và $0_X$ là phần tử không của vành $X$, ta có:}\\
(x,n) + (0_X,0) = (x+ 0_X,n + 0) = (x, n)\\
(0_X,0) + (x,n) = (0_X + x, 0 + n) = (x,n)\\
\Rightarrow (0_X,0)\ \text{là phần tử trung hòa của phép + trên $X\times \Bbb Z$}\\
+)\quad \forall (x,n)\in X\times \Bbb Z,\ \text{ta có:}\\
(x,n) + (-x,-n) = (x + (-x),n + (-n)) = (0_X,0)\\
(-x,-n) + (x,n) = (-x + x,-n + n) = (0_X,0)\\
\Rightarrow (-a,-n)\ \text{là phần tử đối của $(a,n)$}\\
+)\quad \forall (x_1,n_1),(x_2,n_2)\in X\times \Bbb Z,\ \text{ta có:}\\
(x_1,n_1)+(x_2,n_2) = (x_1+x_2,n_1+x_2) = (x_2+x_1,n_2+x_1) = (x_2,n_2) + (x_1,n_1)\\
\Rightarrow \text{Phép + có tính chất giao hoán}\\
\text{Do đó $(X\times \Bbb Z, +)$ là một nhóm Abel}\qquad (1)\\
+)\quad \forall (x_1,n_1),(x_2,n_2),(x_3,n_3)\in X\times \Bbb Z,\ \text{ta có:}\\
\bullet\quad [(x_1,n_1).(x_2,n_2)].(x_3,n_3)\\
= (x_1x_2 + n_1x_2 + n_2x_1,n_1n_2).(x_3,n_3)\\
= (x_1x_2x_3 + n_1x_2x_3 + n_2x_1x_3 + x_1x_2n_3 + n_1n_3x_2 + n_2n_3x_1 + n_1n_2x_3,n_1n_2n_3)\\
= (x_1,n_1).(x_2x_3 + n_2x_3 + n_3x_2,n_2n_3)\\
= (x_1,n_1).[(x_2,n_2).(x_3,n_3)]\\
\Rightarrow \text{Phép . có tính chất kết hợp}\\
\bullet\quad (x_1,n_1).[(x_2,n_2) + (x_3,n_3)]\\
= (x_1,n_1).(x_2+x_3,n_2+n_3)\\
= (x_1x_2 + x_1x_3 + x_1n_2 + x_1n_3 + n_1x_2 + n_1x_3,n_1n_2 + n_1n_3)\\
= (x_1x_2 + n_1x_2 + n_2x_1,n_1n_2) + (x_1x_3 + n_1x_3 + n_3x_1, n_1n_3)\\
= (x_1,n_1).(x_2,n_2) + (x_1,n_1).(x_3,n_3)\\
\bullet\quad [(x_2,n_2) + (x_3,n_3)].(x_1,n_1)\\
= (x_2+x_3,n_2+n_3).(x_1,n_1)\\
= (x_2x_1 + x_2x_1 + x_2n_1 + x_3n_1 + n_2x_1 + n_3x_1, n_2n_1 + n_3n_1)\\
= (x_2x_1 + n_1x_2 + n_2x_1, n_2n_1) + (x_3x_1 + n_1x_3 + n_3x_1,n_3n_1)\\
= (x_2,n_2).(x_1,n_1) + (x_3,n_3).(x_1,n_1)\\
\Rightarrow \text{Phép . có tính chất giao hoán}\\
\text{Do đó $(X\times \Bbb Z,.)$ là một nửa nhóm}\qquad (2)\\
\text{Từ $(1)(2)\Rightarrow (X\times \Bbb Z,+,.)$ là một vành}\\
\text{Ta lại có:}\\
\quad \forall (x,n)\in X\times \Bbb Z\\
(x,n).(0_X,1) = (x.0_X + x.1 + n.0_x, n.1) = (x,n)\\
(0_X,1).(x,n) = (0_X.x + 0_X.n + 1.x, 1.n) = (x,n)\\
\Rightarrow (0_X,1)\ \text{là phần tử đơn vị của phép .}\\
\text{Vậy $(X\times Z,+,.)$ là một vành có đơn vị}
\end{array}\)