Đáp án:

\(m=-2\)

Giải thích các bước giải:

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {2m + 3} \right)x + 1\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 2m + 3\);

\({\Delta _{y'}}' = {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 6m + 1\)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left[ {0;3} \right]\) thì

\(y' \ge 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\)

Ta có: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 2 \\m < 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

\({x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 0 < {x_2}\\{x_1} < 3 \le {x_2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 3 \le 0\\2m + 3 - 3.\left( { - 2m + 4} \right) + 9 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - \dfrac{3}{2}\\8m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \dfrac{3}{2}\)

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 2 \\m < 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) ta được \(m \le - \dfrac{3}{2}\).

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) là \( - 2\).