1) $\Delta ABD$ có $AB=AD$ (cạnh hình thoi)

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh $A$

Có $\widehat{BAD}=60^o$

$\Rightarrow \Delta ABD$ đều

$\Rightarrow BH$ là đường cao cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AD$

2) $\Delta ACE$ có $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta ABE$ cân đỉnh $A$

$\Rightarrow AB=AE$

$\Delta BDE$ có $DH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta BDE$ cân đỉnh $D$

$\Rightarrow DB=DE$

$\Rightarrow AB=AE=BD=DE$

$\Rightarrow$ tứ giác $ABDE$ là hình thoi.

3) Tứ giác $ABDE$ là hình thoi

$\Rightarrow AB\parallel=DE$

Tứ giác $ABCD$ là hình thoi

$\Rightarrow AB\parallel=CD$

$\Rightarrow DE\parallel DC$

$D,E,C$ thẳng hàng và $DE=DC$

$\Rightarrow D$ là trung điểm $EC$

4) Tứ giác $ABCD$ là hình thoi

$\Rightarrow AB\parallel=CD$

$E,D,C$ thẳng hàng $\Rightarrow AB\parallel EC$

$\Rightarrow $ tứ giác $ABCE$ là hình thang

có $AE=BC(=AB)$

$\Rightarrow $ tứ giác $ABCE$ là hình thang cân

$\Rightarrow $ hai đường chéo bằng nhau $AC=BE$.

a)

Ta có ΔABD cân có góc A = 600

=> ABD đều

=> Đường cao BH đồng thời là trung tuyến

=> AH = DH

Có BH = HC (gt)

=> ABCD là hình bình hành

Lại có AE ⊥ AD (gt)

Vậy ABDE là hình thoi

b)

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD (gt)

Mà ABDE là hình thoi (chứng minh a) nên AB // ED

=> C, D, E thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)

c)

Vì AB // CE và AE = BC (cùng bằng AB)

=> ABCE là hình thang cân :

=> Các đường chéo AC và BE bằng nhau