Đáp án:

\(\frac{{kQ\sqrt 2 }}{{r\sqrt {{L^2} + 2{r^2}} }}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi M là một điểm nằm trên trục của thanh cách thanh một đoạn r. 

Lấy vi phân một đoạn như trên hình vẽ, ta có:

\[dE = \frac{{kdq}}{{{x^2} + {r^2}}} = \frac{{kQ}}{L}\frac{{dx}}{{{x^2} + {r^2}}}\]

Vì thành phần dE trên phương ngang đã triệt tiêu lẫn nhau do tính đối xứng nên tổng điện trường bằng tổng điện trường trên phương thẳng đứng nên ta có:

\[\begin{array}{l}
E = \int {dE\cos \alpha  = } \frac{{kQr}}{L}\int\limits_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + {r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \\
 = \frac{{kQ}}{{Lr}}\int\limits_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{\frac{{dx}}{r}}}{{{{\left( {{{\frac{x}{r}}^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \\
 = \frac{{kQ}}{{Lr}}\left( {\frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt {{{\frac{L}{2}}^2} + {r^2}} }} - \left( { - \frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt {{{\frac{L}{2}}^2} + {r^2}} }}} \right)} \right)\\
 = \frac{{kQ\sqrt 2 }}{{r\sqrt {{L^2} + 2{r^2}} }}
\end{array}\]

Riêng tại điểm chính giữa thanh do đối xứng nên ta có thể dễ dàng nhận thấy E=0.