Đáp án:

$g(x)$ có $3$ cực trị

Giải thích các bước giải:

 $g(x)=f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\ln(x^2+8x+16)\\ =f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\ln\left((x+4)^2\right)\\ =f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-2\ln\left(|x+4|\right)\\ x \in [-3;4]\\ \Rightarrow g(x)=f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-2\ln\left(x+4\right)\\ g'(x)=\dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\dfrac{2}{x+4}\\ g'(x)=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)-\dfrac{2}{x+4}=0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=\dfrac{2}{x+4}\\ \Leftrightarrow f'\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=\dfrac{4}{x+4}(*)\\ u=\dfrac{x}{2}+1 \Leftrightarrow x=2u-2\\ (*)\Leftrightarrow  f'\left(u\right)=\dfrac{4}{2u+2}\\ \Leftrightarrow f'\left(u\right)=\dfrac{2}{u+1}\\ \Leftrightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{2}{x+1}$

$f'(x)$ cắt $y=\dfrac{2}{x+1}$ tại $3$ điểm và $f'\left(x\right)-\dfrac{2}{x+1}$ có đổi dấu

$\Rightarrow g(x)$ có $3$ cực trị