Đáp án:

\(\begin{align}
  & a)\Delta t={{t}_{1}}-{{t}_{2}}=\dfrac{L.{{({{v}_{1}}-{{v}_{2}})}^{2}}}{2{{v}_{1}}.{{v}_{2}}.({{v}_{1}}+{{v}_{2}})} \\ 
 & b)TH1:S>\dfrac{L}{2}\Rightarrow {{v}_{1}}>3{{v}_{1}} \\ 
 & TH2:S<\dfrac{L}{2}\Rightarrow {{v}_{1}}<3{{v}_{1}} \\ 
 & TH3:S=\dfrac{L}{2}\Rightarrow {{v}_{1}}=3{{v}_{1}} \\ 
\end{align}\)

Giải thích các bước giải:

 $AB=L;{{S}_{1}}={{S}_{2}}=\frac{AB}{2}$

a) ô tô thứ nhất đi hết AB hết khoảng thời gian là 

${{t}_{1}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{S}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{L}{2{{v}_{1}}}+\dfrac{L}{2{{v}_{2}}}=L.\dfrac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{2{{v}_{1}}.{{v}_{2}}}$

thời gian để ô tô thứ 2 đi từ A đến B là:

$\begin{align}
  & \dfrac{{{t}_{2}}}{2}.{{v}_{1}}+\dfrac{{{t}_{2}}}{2}.{{v}_{2}}=L \\ 
 & \Rightarrow {{t}_{2}}=\dfrac{2L}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}} \\ 
\end{align}$

ta có: 

$\begin{align}
  & {{t}_{1}}-{{t}_{2}}=L.\dfrac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{2.{{v}_{1}}.{{v}_{2}}}-L\dfrac{2}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}=L\dfrac{{{({{v}_{1}}+{{v}_{2}})}^{2}}-4.{{v}_{1}}.{{v}_{2}}}{2.{{v}_{1}}.{{v}_{2}}.({{v}_{1}}+{{v}_{2}})} \\ 
 & =L.\dfrac{{{\left( {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \right)}^{2}}}{2.{{v}_{1}}.{{v}_{2}}.({{v}_{1}}+{{v}_{2}})}>0 \\ 
 & \Rightarrow {{t}_{1}}>{{t}_{2}} \\ 
\end{align}$

vậy ô tô 2 đến trước và đến trước trong $\Delta t={{t}_{1}}-{{t}_{2}}$

b) TH1: Xe thứ nhất đang đi trên nữa quãng đường đầu của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai xe là:
khoảng cách giữa 2 xe là:
\(S=\text{ }L-\text{ }{{v}_{1}}.{{t}_{2}}=L-{{v}_{1}}.\dfrac{2L}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}=L.\left( \dfrac{{{v}_{1}}-{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}} \right)\)
Trường hợp này xảy ra khi 
\(S>\dfrac{L}{2}\Rightarrow \dfrac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}>\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{v}_{2}}>3{{v}_{1}}\)
TH2: Xe thứ nhất đang đi trên nữa quãng đường sau của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai xe là:
\(S=\Delta t.{{v}_{2}}=L.\dfrac{{{({{v}_{1}}-{{v}_{2}})}^{2}}}{2.{{v}_{1}}.({{v}_{1}}+{{v}_{2}})}\)
Trường hợp này xảy ra khi 
\(S<\dfrac{L}{2}\Rightarrow {{v}_{2}}<3{{v}_{1}}\)
TH3: xe ô tô thứ nhất đến điểm chính giữa của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai xe là: 
\(S=\dfrac{L}{2}\)
trường hợp này xảy ra khi:  \({{v}_{2}}=3{{v}_{1}}\)