a.

`y^″+3y^'+2y=x^2+7x\ \ \ \ \ \ (1)`

Xét phương trình thuần nhất: `y^″+3y^'+2y=0`

Phương trình đặc trưng:

`k^2+3k+2=0<=>(k+1)(k+2)=0<=>[(k=-1),(k=-2):}`

`=>` Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

`y_0=C_1e^(-x)+C_2e^(-2x)`

Nghiệm riêng của phương trình đã cho ở dạng:

`y_r=ax^2+bx+c`

`=>y_r^'=2ax+b=>y_r^″=2a`

Thay vào `(1)`, ta được:

`2a+3(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)=x^2+7x`

`<=>{(2a=1),(6a+2b=7),(2a+3b+2c=0):}`

`<=>{(a=1/2),(b=2),(c=-7/2):}`

`=>y_r=1/2x^2+2x-7/2`

`=>` Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

` y=y_0+y_r=1/2x^2+2x+C_1e^(-x)+C_2e^(-2x)-7/2` `(2)`

Lại có: `y^'=-C_1 e^(-x) - 2 C_2 e^(-2 x) + x+2`

Vì `{(y(0)=1),(y^'(0)=1):}`

`<=>{(C_1 + C_2 - 7/2=1),(-C_1 - 2 C_2+2=1):}`

`<=>{(C_1=8),(C_2=-7/2):}`

Thay vào `(2)`, ta được: `y=1/2x^2+2x-7/2+8e^(-x)-7/2e^(-2x)`

$\\$

$\\$

b.

`y″-2y'+y=x+sinx+4`       `(3)`

Xét phương trình thuần nhất: `y''-2y'+y=0`

Phương trình đặc trưng:

`k^2-2k+1=0<=>(x-1)^2=0<=>k=1`

`=>` Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

`y_0=C_1xe^x+C_2e^x`

Nghiệm riêng của phương trình `y''-2y'+y=x+4` có dạng:

`y_(r_1)=ax+b`

Nghiệm riêng của phương trình `y''-2y'+y=sinx` có dạng:

`y_(r_2)=csinx+dcosx`

`=>` Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng:

`y_r=y_(r_1)+y_(r_2)=ax+b+csinx+d cosx`

`=>y_r^'=a+c cosx -dsinx=>y^″=-c sinx-d cosx`

Thay vào `(3)`, ta được:

`-csinx-dcosx-2(a+c cosx -dsinx)+ax+b+csinx+dcosx=x+sinx+4`

`<=>ax+b-2a+2dsinx-2c cosx=x+sinx+4`

`<=>{(a=1),(b-2a=4),(2d=1),(2c=0):}`

`<=>{(a=1),(b=6),(d=1/2),(c=0):}`

`=>y_r=x+1/2cosx+6`

`=>` Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: `y=y_0+y_r`

`=x+1/2cosx+C_1xe^x+C_2e^x+6`