Đáp án:

Vậy \(m < 0\) hoặc \(m = 4\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\log }_2}\left( {mx} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}} = 2\\DK:\left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow x >  - 1,x \ne 0\\PT \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + 2 + \dfrac{1}{x}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + 2 + \dfrac{1}{x}\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) có \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x =  - 1\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy:

- Nếu \(m < 0\) thì phương trình \(m = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x}\) có nghiệm duy nhất \(x \in \left( { - 1;0} \right)\) hay \(mx > 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

- Nếu \(m = 4\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\) và \(mx = 4.1 = 4 > 0\) thỏa mãn bải toán.

Vậy \(m < 0\) hoặc \(m = 4\)