Đáp án:

a, BC = 25cm; AH = 12cm

b, ABCE là hình thang cân

c, AE = 7cm

d, S = 132 $cm^2$

Giải thích các bước giải:

a, ΔABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ 

⇔ $15^{2}$ + $20^{2}$ = $BC^{2}$ 

⇔ 625 = $BC^{2}$ ⇒ BC = 25cm

Ta có: AH.BC = AB.AC = 2.$S_ABC$

⇔ AH.25 = 15.20 ⇒ AH = 12cm

b, Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHD có:

AH chung; BH = DH (gt)

⇒ ΔAHB = ΔAHD (2 cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{ABH} = \widehat{ADH}$

ADCE là hình bình hành ⇒ AE ║ CD

⇒ $\widehat{DAE} = \widehat{ADH}$ (so le trong)

⇒ $\widehat{DAE} = \widehat{ABH}$ mà $\widehat{DAE} = \widehat{ECD}$ (do ADCE là hình bình hành)

⇒ $\widehat{ECD} = \widehat{ABH}$

Tứ giác ABCE có AE ║ BC (do AE ║ DC) nên là hình thang có 2 đáy AE, BC

mà $\widehat{ECD} = \widehat{ABH}$

⇒ ABCE là hình thang cân

c, ΔABH vuông tại H, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$AH^{2}$ + $BH^{2}$ = $AB^{2}$ 

⇔ $12^{2}$ + $BH^{2}$ = $15^{2}$ 

⇔ 81 = $BH^{2}$ ⇒ BH = 9cm ⇒ HD = 9cm

⇒ DC = BC - BH - HD = 25 - 9 - 9 = 7cm

ADCE là hình bình hành ⇒ AE = DC = 7cm

d, $S_{ABCE}$ = $\frac{(AE + BC).AH}{2}$ 

= $\frac{(7 + 25).12}{2}$ = 132 $cm^2$