Giải thích các bước giải:

a) Gọi O là giao điểm của    AC và BD. → AM //PO  → Tứ giác AMDB là hình thang.

b)  Do AM// BD → $\widehat{OBA}$= $\widehat{MAE}$ ( đồng vị )

Xét tam giác cân OAB → $\widehat{OBA}$= $\widehat{MAE}$

Gọi I là giao điểm của MA và EF → ΔAEI cân ở I → $\widehat{IAE}$= $\widehat{IEA}$

⇒ $\widehat{FEA}$= $\widehat{OAB}$ → EF //AC .(1) (đpcm)

Mặt khác:  IP là đường trung bình của Δ MAC → IP // AC     (2)

          Từ (1) và (2) suy ra : E,F, P thẳng hàng. (đpcm) 

c)  Do Δ MAF ~ Δ DBA ( g-g) → $\frac{MF}{FA}$ = $\frac{AD}{AB}$ không đổi. (đpcm)

d) Nếu $\frac{PD}{PB}$ = $\frac{9}{16}$ → $\frac{PD}{9}$ = $\frac{PB}{16}$ = k→ PD= 9k; PB = 16k.

Do đó:  $CP^{2}$ =PB. PD → $(2,4)^{2}$ =9.16$k^{2}$  → k=0,2.

            ⇒ PD = 9k =1,8

            ⇒ PB = 16k = 3,2

            ⇒ DB=5

Từ đó ta chứng minh được:  $BC^{2}$ == BP. BD=16

Do đó :  BC = 4 cm    ; CD = 3 cm

      Vậy hình chữ nhật ABCD có: BC = 4 cm    ; CD = 3 cm