13. 

ΔMAB cân tại M ⇒ ∠MAB = ∠MBA; MA = ∠MB

mà MC = MB ⇒ MC = MA
⇒ ΔMAC cân tại M ⇒ ∠MAC = ∠MCA

Vì ∠AMC là góc ngoài của ΔAMB

⇒ ∠AMC = ∠MAB + ∠MBA 

Vì ∠AMB là góc ngoài của ΔAMC

⇒ ∠AMB = ∠MAC + ∠MCA

Ta có: ∠AMC + ∠AMB = $180^{o}$ (2 góc kề bù)

⇒ ∠MAB + ∠MBA + ∠MAC + ∠MCA = $180^{o}$

⇒ 2 . ∠MAB + 2 . ∠MAC = $180^{o}$

⇒ 2 . (∠MAB + ∠MAC) = $180^{o}$

⇒        ∠MAB + ∠MAC = $180^{o}$ : 2

⇒              ∠BAC   = $90^{o}$

14.  

ΔMIK vuông tại K

⇒ ∠KMI + ∠MIK = $90^{o}$ (trong Δvuông, 2 góc nhọn phụ nhau)

Có: ∠NMI + ∠IMP = ∠NMP = $90^{o}$

mà ∠KMI = ∠IMP (MI là tia phân giác của ∠PMK)

⇒ ∠MIK = ∠NMI hay ∠NIM = ∠NMI

⇒ ΔMIN cân tại N ⇒ NM = NI (đpcm)

15. 

a. Xét ΔAMD và ΔAME có:

      ∠AMD = ∠AME = $90^{o}$

       AM: cạnh chung

      ∠DAM = ∠EAM (Ax là tia phân giác của ∠A)

⇒ ΔAMD = ΔAME (g.c.g)

⇒ ∠ADM = ∠AEM (2 góc tương ứng)

⇒ ΔADE cân tại A

b. Ta có: BF // AC ⇒ ∠AEM = ∠BFD (2 góc đồng vị)

mà ∠ADM = ∠AEM ⇒ ∠ADM = ∠BFD

hay ∠BDF = ∠BFD  ⇒ ΔBDF cân tại B

⇒ BD = BF (đpcm)

c. Ta có: BF // AC ⇒ ∠C = ∠FBM (2 góc so le trong)

Xét ΔBMF và ΔCME có:

        ∠FBM = ∠C (cmt)

         BM = CM (M là trung điểm của BC)

        ∠BMF = ∠CME (2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔBMF = ΔCME (g.c.g)

⇒ BF = CE (2 cạnh tương ứng)

mà BF = BD (theo b) ⇒ BD = CE (đpcm)

 

Bài 14

ΔMIK vuông tại K  

⇒ ∠KMI + ∠MIK =  90 o  (trong Δvuông, 2 góc nhọn phụ nhau)  

Có: ∠NMI + ∠IMP = ∠NMP =  90 o  mà ∠KMI = ∠IMP (MI là tia phân giác của ∠PMK)  

⇒ ∠MIK = ∠NMI hay ∠NIM = ∠NMI  

⇒ ΔMIN cân tại N

⇒ NM = NI (đpcm)