Đáp án:

\[{S_{AEOD}} = 2\left( {c{m^2}} \right)\]

Giải thích các bước giải:

 Gọi N là trung điểm của DC

Tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến. Hay H là trung điểm của BC

Ta có:

H, N lần lượt là trung điểm của BC và DC nên HN là đường trung bình trong tam giác BCD

Do đó, HN//BD hay OD//HN

Tam giác AHN có OD//HN mà O là trung điểm AH nên OD là đường trung bình trong tam giác AHN

Do đó, D là trung điểm AN hay \(AD = \frac{1}{3}AC\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{AOD}}}}{{{S_{AHC}}}} = \frac{{AO}}{{AH}}.\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {S_{AOD}} = \frac{1}{6}{S_{AHC}} = \frac{1}{{12}}{S_{ABC}}\\
\frac{{{S_{AOE}}}}{{{S_{AHB}}}} = \frac{{AO}}{{AH}}.\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {S_{AOE}} = \frac{1}{6}{S_{AHB}} = \frac{1}{{12}}{S_{ABC}}\\
 \Rightarrow {S_{AEOD}} = {S_{AOD}} + {S_{AOE}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\\
AH \bot BC \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2} \Rightarrow AH = 4\left( {cm} \right)\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.4.6 = 12\left( {c{m^2}} \right)\\
 \Rightarrow {S_{AEOD}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}} = 2\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}\)