$\\$

`a,`

Tứ giác `ABCD` có :

$AB//CD$ (gt)

$AC//BD$ (gt)

`<=>ABCD` là hình bình hành

Mà `hat{BAC}=90^o` (gt)

`<=>ABCD` là hình chữ nhật

`b,`

`ABCD` là hình chữ nhật

`<=>` $AB//CD,AB=CD, AC//BD, AC=BD$

Và `hat{A}=hat{ACD}=hat{CDB}=hat{ABD}=90^o`

`AH\bot BC, DK\bot BC` (gt)

`=>` $AH//DK$

`\triangle AHB` và `\triangle DKC` có :

`hat{AHB}=hat{DKC}=90^o`

`AB=CD` (cmt)

`hat{ABH}=hat{DCK}` ($AB//CD$)

`=>\triangle AHB=\triangle DKC` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH=DK` (2 cạnh tương ứng)

Tứ giác `AHDK` có :

$AH//DK$ (cmt)

`AH=DK` (cmt)

`<=>AHDK` là hình bình hành

`c,`

Gọi `I` là trung điểm của `AH`

      `V` là giao của `MI` và `AB`

      `L` là giao của  `BI` và `AM`

`\triangle AHC` có :

`I,M` là trung điểm của `AH,HC` (cách gọi, gt)

`=>IM` là đường trung bình của `\triangle AHC`

`=>` $IM//AC, IM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BD$

$IM//AC, AC//BD$ (cmt)

`=>` $IM//BD$ hay $IM//BN$

`IM=1/2 BD, BN=1/2 BD` (cmt, gt)

`=>IM=BN`

Tứ giác `BIMN` có :

$IM//BN$ (cmt)

$IM=BN$ (cmt)

`<=>BIMN` là hình bình hành

`=>` $BI//MN$ hay $BL//MN$

`hat{ABD}=90^o` (cmt) hay `AB\bot BD`

Mà $MV//BD$ (cmt)

`=>MV\bot AB`

`\triangle ABM` có :

`AH` là đường cao (gt)

`MV` là đường cao (`MV\bot AB`)

`I` là giao của `AH,MV`

`=>I` là trực tâm của `\triangle ABM`

`=>BL` là đường cao hay `BL\bot AM`

Mà $BL//MN$ (cmt)

`=>AM\bot MN`