Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có : ΔABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB (T/C Δ Cân)

Xét ΔBCE và ΔCBD có :

∠BEC = ∠CDB ( cùng = 90 độ)

BC là cạnh chung.

∠ABC = ∠ACB (cmt)

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔBCE = ΔCBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BD = CE (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có : ΔBCE = ΔCBD (cmt)

⇒ ∠DBC = ∠ ECB (2 góc tương ứng)

Ta có : BD nằm giữa ∠ABC (cách vẽ)

⇒ ∠ABD + ∠DBC = ∠ABC

⇒ ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC

Ta có : CE nằm giữa ∠ACB (cách vẽ)

⇒ ∠ACE + ∠ECB = ∠ACB

⇒ ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE

Ta có : ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC (cmt)

           : ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE (cmt)

Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt) và ∠DBC = ∠ ECB (cmt)

   (Gộp cả 4 điều trên) ⇒ ∠ABD = ∠ACE (đpcm)

c) Ta có : ∠IBC = ∠ICB (Do I ∈ BD và CE và ∠DBC = ∠DBC)

⇒ ΔIBC là Δ Cân (T/C ΔCân)

d) Gọi giao điểm của AI và BC là H (H ∈ BC)

Ta có : ΔBIC cân tại I (cmt)

⇒ BI = CI (T/C Δ Cân)

Xét ΔABI và ΔACI có :

AB = AC (cm câu a)

∠ABD = ∠ACE (cm câu b)

BI = CI (cmt)

(Gộp cả 3 lại) ⇒ ΔABI = ΔACI (c-g-c)

⇒ ∠BAI = ∠CAI (2 góc tướng ứng)

Mà A,I,H thẳng hàng (cách vẽ)

⇒ ∠BAH = ∠CAH

Xét ΔABH và ΔACH có :

AB = AC (cm câu a)

∠BAI = ∠CAI (cmt)

AH là cạnh chung.

(Gộp cả 3 lại) ⇒ΔABH = ΔACH (c-g-c)

⇒ BH = CH ( 2 cạnh tương ứng) và ∠AHB = ∠AHC (2 góc tương ứng)

Ta có : BH = CH (cmt) 

            Mà H ∈ BC

⇒ H là trung điểm của BC. (1)

Ta có : ∠AHB = ∠AHC (cmt)

Mà ∠AHB + ∠AHC = 180 độ

⇒ ∠AHB = ∠AHC = 180 độ / 2 = 90 độ

⇒ AH ⊥ BC (2)

                               Từ (1) và (2) ⇒ AH là đường trung trực của BC (Đ/N đường trung trực)