\(\begin{array}{l}
\bf{\text{Câu 1:}}\\
a)\quad \begin{cases}f(x) = \dfrac{x^3}{x^4+1}\\ g(x) = x.e^{-3x}\end{cases}\\
+)\quad \lim\limits_{x\to \infty}f(x)\\
= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^3}{x^4+1}\\
= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+ \dfrac{1}{x^4}}\\
= \dfrac{0}{1+0}\\
= 0\\
+)\quad f'(x) = \left(\dfrac{x^3}{x^4+1}\right)'\\
= \dfrac{(x^3)'.(x^4+ 1) - x^3.(x^4 + 1)'}{(x^4 + 1)^2}\\
= \dfrac{3x^2(x^4 + 1) - x^3.4x^3}{(x^4 + 1)^2}\\
= \dfrac{-x^6 + 3x^2}{(x^4 + 1)^2}\\
+)\quad \displaystyle\int g(x)dx= \displaystyle\int x.e^{-3x}dx\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}u = x\\dv = e^{-3x}dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du = dx\\v = - \dfrac{1}{3}e^{-3x}\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
\quad \displaystyle\int g(x)dx= - \dfrac13x.e^{-3x} + \dfrac13\displaystyle\int e^{-3x}dx\\
\Leftrightarrow \displaystyle\int g(x)dx= - \dfrac13x.e^{-3x} - \dfrac19e^{-3x} + C\\
+)\quad \displaystyle\int\limits_0^1 g(x)dx = \left(- \dfrac13x.e^{-3x} - \dfrac19e^{-3x} \right)\Bigg|_0^1\\
= \left(- \dfrac13\cdot 1\cdot e^{-3.1} - \dfrac19e^{-3.1} \right)- \left(- \dfrac13\cdot 0\cdot e^{-3.0} - \dfrac19e^{-3.0} \right)\\
= - \dfrac{4 + e^3}{9e^3}\\
b)\quad y = \sin x\\
\Rightarrow \begin{cases}y' = \cos x\\
y'' = -\sin x\\
y^{(3)} = -\cos x\\
y^{(4)} = \sin x\\
y^{(5)} = \cos x\\
\cdots\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
y^{(n)} = \begin{cases}\sin x\qquad\ khi\quad n = 4k\\
\cos x\qquad khi\quad n = 4k + 1\\
- \sin x\quad\ khi\quad n = 4k + 2\\
-\cos x\quad khi\quad n = 4k + 3\end{cases}\quad (k\in\Bbb N)\\
\bf{\text{Câu 2:}}\\
\quad f(x,y) = \dfrac{\cos(x^2 - y^2 + 1)}{y}\\
\Rightarrow \begin{cases}f_x' = \dfrac{-2x\sin(x^2 - y^2 + 1)}{y}\\
f_y' = 2\sin(x^2 - y^2 + 1) - \dfrac{\cos(x^2 - y^2 + 1)}{y^2}
\end{cases}\\
\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{f'_x}{x} =\dfrac{-2\sin(x^2 - y^2 + 1)}{y}\\
\dfrac{f_y'}{y} = \dfrac{2\sin(x^2 - y^2 + 1)}{y} - \dfrac{\cos(x^2 - y^2 + 1)}{y^3}\end{cases}\\
\Rightarrow \dfrac{f'_x}{x}- \dfrac{f_y'}{y} = \dfrac{-4\sin(x^2 - y^2 + 1)}{y} + \dfrac{\cos(x^2 - y^2 + 1)}{y^3}\\
\text{Ta lại có:}\\
\quad \dfrac{f}{y} = \dfrac{\cos(x^2 - y^2 + 1)}{y^3}\\
\text{Do đó:}\\
\dfrac{f'_x}{x}- \dfrac{f_y'}{y} \ne \dfrac{f}{y}\\
\bf{\text{Câu 3:}}\\
\quad f(x,y) = 2y^4 + x^2 +4xy -2x - 4y\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}f'_x = 0\\f'_y = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}
x + 2y - 1 =0\\
x + 2y^3 - 1 =0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}
x = 1\\y = 0
\end{cases}\\
\begin{cases}
x = -1\\y = 1
\end{cases}\\
\begin{cases}x = 3\\y = -1
\end{cases}\end{array}\right.\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' = 2\\
B= f_{xy}'' = 4\\
C = f_{yy}'' = 24y^2
\end{cases}\\
+)\quad \text{Tại $M_1(1;0)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 2 >0\\
B = 4\\
C = 0
\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 16 >0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(1;0)$}\\
+)\quad \text{Tại $M_2(-1;1)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 2 >0\\
B = 4\\
C = 24
\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -8 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_2(-1;1);\ f_{\min} = -3$}\\
+)\quad \text{Tại $M_3(3;-1)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 2 >0\\
B = 4\\
C = 24
\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -8 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_3(3;-1);\ f_{\min} = -3$}\\
\text{Vậy}\ \min f(x,y) = -3 \Leftrightarrow (x;y) = \{(-1;1);(3;-1)\}\\
\bf{\text{Câu 4:}}\\
a)\quad \sin2xdx - 5(y+1)^4dy = 0\\
\Leftrightarrow \sin2xdx=5(y+1)^4dy\\
\Leftrightarrow \displaystyle\int\sin2xdx=\displaystyle\int5(y+1)^4dy\\
\Leftrightarrow -\dfrac12\cos2x = (y+1)^5 + C\\
\Leftrightarrow y = \sqrt[5]{\dfrac12\cos2x + C}-1\\
b)\quad y' - \dfrac{3y}{x} = x^4e^x\qquad (*)\\
\text{Phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm:}\\
\quad y = C.e^{\displaystyle\int\dfrac3xdx}\\
\Leftrightarrow y = C.e^{3\ln x}\\
\Leftrightarrow y = C.x^3\\
\text{Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:}\\
\quad y = C(x).x^3\\
\Rightarrow y' = C'(x).x^3 + 3x^2.C(x)\\
\text{Thay vào $(*)$ ta được:}\\
\quad C'(x).x^3 + 3x^2.C(x) - \dfrac3x\cdot  C(x).x^3 = x^4e^x\\
\Leftrightarrow C'(x) = xe^x\\
\Leftrightarrow C(x) = xe^x - e^x + C\\
\text{Vậy}\ y = x^4e^x - x^3e^x + C.x^3\\
c)\quad y'' - y = (2020x + 2020)e^x\qquad (**)\\
\text{Phương trình đặc trưng:}\\
\quad k^2 - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = - 1\\k = 1\end{array}\right.\\
\Rightarrow (**)\ \text{có nghiệm chung là:}\\
\quad y = C_1.e^{-x} + C_2.e^x\\
\text{Ta có:}\ f(x) = e^{1x}.(2020x + 2020)\\
\text{Do $\gamma = 1$ là một nghiệm của phương trình đặc trưng}\\
\text{nên $(**)$ có nghiệm riêng dạng:}\\
\quad y = x.e^x(Ax + B)\\
\Rightarrow y' = [Ax^2 + (2A + B)x + B]e^x\\
\Rightarrow y'' = [Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B]e^x\\
\text{Thay vào $(**)$ ta được:}\\
\quad [Ax^2 + (4A + B)x + 2A +2B]e^x - x.e^x(Ax + B) = (2020x + 2020)e^x\\
\Leftrightarrow 4Ax + 2A + 2B = 2020x + 2020\\
\text{Đồng nhất hai vế ta được:}\\
\begin{cases}4A = 2020\\2A + 2B = 2020\end{cases}\Leftrightarrow A = B = 505\\
\text{Vậy}\ y = C_1e^x + C_2e^{-x} + 505x^2e^x + 505xe^x\\
\end{array}\)