Đáp án:

$B.\ S =a^2\sqrt6$

Giải thích các bước giải:

Gọi $S,\ O$ lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón

$\Rightarrow SO = h = a\sqrt3$

Mặt phẳng $(P)$ cắt $(O)$ tại $A,\ B$

$\Rightarrow OA = OB = r = 2a$

Gọi $ I$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}OI\perp AB\quad \text{(mối quan hệ đường kính - dây cung)}\\IA = IB =\dfrac12AB\end{cases}$

Khi đó:

$\begin{cases}AB\perp OI\quad (cmt)\\SO\perp AB\quad (SO\perp (OAB))\end{cases}$

$\Rightarrow AB\perp (SOI)$

$\Rightarrow AB\perp SI$

Ta được:

$\begin{cases}(P)\cap (OAB)= AB\\SI\perp AB\quad (cmt)\\SI\subset (P)\\OI\perp AB\quad (cmt)\\OI\subset (OAB)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((P);(OAB))}=\widehat{SIO}= 45^\circ$

$\Rightarrow SO = OI = a\sqrt3$

$\Rightarrow SI = SO\sqrt2 = a\sqrt6$

Mặt khác:

$OI\perp AB$

$\Rightarrow OA^2 = OI^2 + IA^2$

$\Rightarrow IA =\sqrt{OA^2 - OI^2}=\sqrt{4a^2 - 3a^2}= a$

$\Rightarrow AB = 2a$

Ta được:

$S_{SAB}= \dfrac12AB.SI =\dfrac12\cdot 2a\cdot a\sqrt6 = a^2\sqrt6$