Lời giải:

Từ $A$ kẻ $AH\perp BD$

Ta có:

$\begin{cases}AH\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SAH)$

$\Rightarrow BD\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD) = BD\\SH\perp BD\quad (cmt)\\SH\subset (SBD)\\AH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))} =\widehat{SHA} = 60^\circ$

$\Rightarrow SA = AH.\tan60^\circ$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{a.a\sqrt3}{\sqrt{a^2 +3a^2}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \sqrt3 = \dfrac{3a}{2}$

Trong $mp(ABCD)$ kẻ tia $Dx//AC\quad (Dx$ cùng phía $AC$ so với bờ $CD)$

Kẻ $AM\perp Dx $ tại $M$

$\Rightarrow AM\perp AC$

$\Rightarrow AC\perp (SAM)$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $AK\perp SM$

$\Rightarrow AC\perp AK\qquad (1)$

Mặt khác:

$\Rightarrow DM\perp (SAM)\quad (DM//AC)$

$\Rightarrow DM\perp AK$

mà $AK\perp SM$ (cách dựng)

nên $AK\perp (SDM)$

$\Rightarrow AK\perp SD\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow AK$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SD$

$\Rightarrow AK = d(AC;SD)$

Kẻ $DN\perp AC$

$\Rightarrow AMDN$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AM = DN$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ACD$ vuông tại $D$ đường cao $DN$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{DN^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{CD^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow DN = AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AK$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AK = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{\dfrac{9a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}} = \dfrac{3a}{4}$

Vậy $d(AC;SD) = \dfrac{3a}{4}$