Đáp án:

$1)\quad y = \dfrac{1}{a+b}e^{bx} + C_1.e^{-ax}$

$3)\quad y = x^2\sin x + C_3\sin x$

Giải thích các bước giải:

$1)\quad y' + ay = e^{bx}\qquad (1)$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C.e^{\displaystyle\int -adx}$

$\Leftrightarrow y = C.e^{-ax}$

Do đó nghiệm tổng quát của $(1)$ có dạng:

$\quad y = C(x).e^{-ax}$

$\Rightarrow y' = C'(x).e^{-ax} - a.C(x).e^{-ax}$

Thay vào $(1)$ ta được:

$\quad C'(x).e^{-ax} - a.C(x).e^{-ax} + a.C(x).e^{-ax} = e^{bx}$

$\Leftrightarrow C'(x)= e^{(a+b)x}$

$\Leftrightarrow C(x)= \dfrac{1}{a+b}e^{(a+b)x} + C_1$

Vậy phương trình có nghiệm:

$y = \dfrac{1}{a+b}e^{bx} + C_1.e^{-ax}$

$3)\quad y' - y\cot x = 2x\sin x\qquad (3)$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C.e^{\displaystyle\int\cot xdx}$

$\Leftrightarrow y = C.e^{\ln(\sin x)}$

$\Leftrightarrow y = C.\sin x$

Do đó nghiệm tổng quát của $(3)$ có dạng:

$\quad y = C(x).\sin x$

$\Rightarrow y' = C'(x).\sin + C(x).\cos x$

Thay vào $(3)$ ta được:

$\quad C'(x).\sin x+ C(x).\cos x - C(x).\sin x.\cot x = 2x\sin x$

$\Leftrightarrow C'(x)= 2x$

$\Leftrightarrow C(x)= x^2 + C_3$

Vậy phương trình có nghiệm:

$y = x^2\sin x + C_3\sin x$