$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{số lượng sản phẩm}&MU_X&MU_Y&MU_Z\\\hline 1&75&68&62\\\hline 2&72&50&54\\\hline 3&60&37&48\\\hline 4&45&35&39\\\hline 5&37&5&36\\\hline 6&21&10&20\\\hline 7&10&4&10\\\hline \end{array}$

Tối đa hoá hữu dụng:

$\begin{cases}\dfrac{MU_X}{P_X}=\dfrac{MU_Y}{P_Y}=\dfrac{MU_Z}{P_Z}\qquad (1)\\XP_X +YP_Y + ZP_Z = I\qquad (2)\end{cases}$

a) Trên thực tế, khi tiêu dùng nhiều sản phẩm, không có nhiều lựa chọn để thoả mãn nguyên tắc $(1):$

$\dfrac{MU_X}{P_X}=\dfrac{MU_Y}{P_Y}=\dfrac{MU_Z}{P_Z}$

Do đó, ta chọn tất cả các lựa chọn thoả mãn:

$\dfrac{MU_X}{P_X}\approx \dfrac{MU_Y}{P_Y}\approx \dfrac{MU_Z}{P_Z}$

Do $P_X = P_Y = P_Z$

nên ta chọn $MU_X\approx MU_Y\approx MU_Z\qquad (1')$

Các lựa chọn thoả mãn $(1')$ gồm:

$+)\quad \begin{cases}X = 5\\Y = 3\\Z = 5\end{cases}$

$+)\quad \begin{cases}X = 5\\Y = 4\\Z = 5\end{cases}$

$+)\quad \begin{cases}X = 5\\Y = 3\\Z = 4\end{cases}$

$+)\quad \begin{cases}X = 7\\Y = 6\\Z = 7\end{cases}$

Trong đó, duy nhất bộ $(X;Y;Z)= (5;3;4)$ thoả mãn $(2):$

$5.3000 + 3.3000 + 4.3000 = 36000$

Vậy người đó cần chi mua $5$ sản phẩm $X,\ 3$ sản phẩm $Y$ và $4$ sản phẩm $Z$ để đạt tối đa hoá hữu dụng

Khi đó:

$TU_{\max}= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^5MU_{X\ i}+ \displaystyle\sum\limits_{j=1}^3MU_{Y\ j}+ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^4MU_{Z\ k} = 647$ (đvhd)

b) Do $P_X = 2P_Y = P_Z$

Ta chọn $MU_X\approx 2MU_Y\approx MU_Z\qquad (1")$

Các lựa chọn thoả mãn $(1")$ gồm:

$+)\quad \begin{cases}X = 6\\Y = 3\\Z = 6\end{cases}$

$+)\quad \begin{cases}X = 5\\Y = 1\\Z = 5\end{cases}$

Trong duy nhất bộ $(X;Y;Z)= (5;1;5)$ thoả mãn $(2):$

$5.3000 + 1.6000 + 5.3000 = 36000$

Vậy người đó cần chi mua $5$ sản phẩm $X,\ 1$ sản phẩm $Y$ và $5$ sản phẩm $Z$ để đạt tối đa hoá hữu dụng

Khi đó:

$TU_{\max}= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^5MU_{X\ i}+ \displaystyle\sum\limits_{j=1}^1MU_{Y\ j}+ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^5MU_{Z\ k} = 596$ (đvhd)