Đặt x=a+b-c , y=b+c-a, z= a+c-b

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ⇒ x,y,z>0

⇒ $a=\frac{x+z}{2}$; $b=\frac{x+y}{2}$;$c=\frac{y+z}{2}$

Khi đó: $BĐT \Leftrightarrow\frac{(x+y)(y+z)}{4y}+\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(x+z)(y+z)}{4z}\geq a+b+c$ 

            $\Leftrightarrow\frac{xy+yz+y^{2}+xz}{y}+\frac{xy+xz+x^{2}+yz}{x}+\frac{zy+xz+z^{2}+xy}{z}\geq 4(x+y+z)$

          $\Leftrightarrow\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}+3(x+y+z)\geq 4(x+y+z)$ 

          $\Leftrightarrow\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z$ (1)

Áp dụng bđt cô si có:$\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq 2\sqrt{\frac{xzyz}{xy}}=2\sqrt{z^{2}}=2z$ 

  Tương tự $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y$ ;$\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq 2x$ 

Cộng 2 vế suy ra (1) đúng

Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ⇔a=b=c

Đáp án:

Giải thích các bước giải: