Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.{R_b} = {R_0}\\
{P_b} = \dfrac{{{U^2}}}{{4{R_0}}}\\
b.{U_3} = 4{U_1}
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Khi K1 mở, K2 đóng, Công suất tiêu thụ trên biến trở là:

$I = \dfrac{U}{{{R_0} + {R_b}}} \Rightarrow {P_b} = {I^2}.{R_b} = \dfrac{{{U^2}.{R_b}}}{{{{\left( {{R_0} + {R_b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{U^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}}$

Công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị cực đại khi ${{{\left( {\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}$ Min

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}}  \ge 2\sqrt {\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }}.\sqrt {{R_b}} }  = 2\sqrt {{R_0}} \\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)^2} \ge {\left( {2\sqrt {{R_0}} } \right)^2} = 4{R_0}
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\dfrac{{{R_0}}}{{\sqrt {{R_b}} }} = \sqrt {{R_b}}  \Leftrightarrow {R_b} = {R_0}$

Vậy công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị cực đại khi R = R0, công suất đó có giá trị: 

${P_{{b_{\max }}}} = \dfrac{{{U^2}}}{{4{R_0}}}$

b. Khi K1 đóng, K2 mở ta có:

${I_1} = \dfrac{U}{{{R_0} + {R_b} + r}} \Rightarrow {U_1} = {I_1}.{R_0} = \dfrac{{U.{R_0}}}{{{R_0} + {R_b} + r}}$

Và khi giảm điện trở của biến trở đi 3 lần nên:

${I_2} = \dfrac{U}{{{R_0} + \dfrac{{{R_b}}}{3} + r}} \Rightarrow {U_2} = {I_2}.{R_0} = \dfrac{{U.{R_0}}}{{{R_0} + \dfrac{{{R_b}}}{3} + r}}$

Mà theo đề ta có:

$\begin{array}{l}
{U_2} = 2{U_1} \Leftrightarrow \dfrac{{U.{R_0}}}{{{R_0} + \dfrac{{{R_b}}}{3} + r}} = \dfrac{{2.U.{R_0}}}{{{R_0} + {R_b} + r}}\\
 \Leftrightarrow 2{R_0} + \dfrac{2}{3}{R_b} + 2r = {R_0} + {R_b} + r\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{R_b} - r - {R_0} = 0\\
 \Leftrightarrow {R_b} - 3r - 3{R_0} = 0\\
 \Leftrightarrow {R_b} = 3\left( {{R_0} + r} \right)
\end{array}$

Khi giá trị của Rb giảm tới 0, lúc này:

$\begin{array}{l}
{I_3} = \dfrac{U}{{{R_0} + r}} \Leftrightarrow {U_3} = {I_3}.{R_0} = \dfrac{{U.{R_0}}}{{{R_0} + r}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{U_3}}}{{{U_1}}} = \dfrac{{U.{R_0}}}{{{R_0} + r}}.\dfrac{{{R_0} + {R_b} + r}}{{U.{R_0}}} = \dfrac{{{R_0} + r + 3\left( {{R_0} + r} \right)}}{{{R_0} + r}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{U_3}}}{{{U_1}}} = \dfrac{{4\left( {{R_0} + r} \right)}}{{{R_0} + r}} = 4 \Leftrightarrow {U_3} = 4{U_1}
\end{array}$