Đáp án:

$A.\ \dfrac{7}{16}$

Giải thích các bước giải:

Nhận thấy đồ thị $y = f(x)$ là hàm trùng phương đối xứng qua $y = x_2$

Tịnh tiến đồ thị sao cho trục đối xứng trùng trục $Oy$ và hai cực tiểu nằm trên trục $Ox$ ta được $y = g(x) = ax^4 + bx^2 + c\ (a > 0)$

Phép tịnh tiến trên không làm diện tích $S_1;\ S_2$ thay đổi.

Khi đó:

$x_2 \equiv O \Rightarrow x_2 = 0$

$\Rightarrow x_1 = -3;\ x_3 = 3$

Ta có:

$\quad y' = g'(x) = 4ax^3 + 2bx$

$x_3 = 3$ là một cực tiểu của đồ thị $y = g(x)$

$\Rightarrow g'(3) = 0 \Leftrightarrow 108a + 6b = 0$

$\Rightarrow b = -18a$

$\Rightarrow g(x) = ax^4 - 18ax^2 + c$

$x_3= 3$ cũng là hoành độ giao điểm giữa $y = g(x)$ với trục $Ox$

$\Rightarrow g(3)= 0 \Rightarrow 81a - 162a + c = 0$

$\Rightarrow c= 81a$

$\Rightarrow g(x)= ax^4 - 18ax^2 + 81a$

Gọi $S$ là diện tích hình chữ nhật ghép từ $2S_1$ và $S_2$

$\Rightarrow S = (x_3 - x_1).c = 6.81a = 486a$

Ta lại có:

$\quad S_2 = \displaystyle\int\limits_{-3}^3(ax^4 - 18ax^2 + 81a)dx$

$\Rightarrow S_2 = \dfrac{1296a}{5}$

$\Rightarrow S_1 = \dfrac{S - S_2}{2}=\dfrac{486a - \dfrac{1296a}{5}}{2}=\dfrac{567a}{5}$

Khi đó:

$\dfrac{S_1}{S_2} =\dfrac{\dfrac{567a}{5}}{\dfrac{1296a}{5}}=\dfrac{7}{16}$