a,

1. TXĐ: $\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên của hàm số 

$\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=+\infty$

$y'=x^3-4x=x(x^2-4)$

$y'=0\to x=0; x=\pm 2$

Ta có BBT như hình 

Từ BBT ta suy ra: 

+ Hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty)$

+ Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;2)$

+ Hàm số đạt cực đại tại $x=0\to y_{CĐ}=\dfrac{-1}{2}$

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm2\to y_{CT}=\dfrac{-9}{2}$

3. Vẽ đồ thị 

Đồ thị không có tiệm cận.

$y''=3x^2-4$

$y''=0\to x=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}$

$\to$ Đồ thị hàm số có hai điểm uốn là $\Big(\pm\dfrac{2}{\sqrt3}; \dfrac{-49}{18}$

Đồ thị cắt Oy tại điểm $\Big(0;\dfrac{-1}{2}\Big)$

Nhận xét: đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta có đồ thị như hình.

b,

Số nghiệm phương trình $\dfrac{1}{4}x^4-2x^2-\dfrac{1}{2}=m$ là số giao điểm của hai đồ thị:

+ $y=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2-\dfrac{1}{2}$ như dưới 

+ $y=m\bot Oy$ 

Vậy $m=\dfrac{-9}{2}$ hoặc $m>\dfrac{-1}{2}$