Đáp án:

$A.\ 2\sqrt{29}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 36$

$\Rightarrow (S)$ có tâm $I(1;2;3);\ R = 6$

Ta lại có: $E(9;6;11)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IE}= (8;4;8)$

$\Rightarrow IE = 12 = 2R$

Gọi $A = IE \cap (S)$

$\Rightarrow IA = AE = \dfrac12IE = R$

$\Rightarrow A(5;4;7)$

Gọi $B$ là trung điểm $IA$

$\Rightarrow B(3;3;5);\ IB = \dfrac R2$

Với mọi $M\in (S)$ ta có:

$\quad IM = R$

$\Rightarrow \dfrac{IM}{IE}= \dfrac{IB}{IM} = \dfrac12$

Xét $\triangle IBM$ và $\triangle IME$ có:

$\begin{cases}\widehat{I}:\ \text{góc chung}\\\dfrac{IM}{IE}= \dfrac{IB}{IM}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle IBM\backsim \triangle IME\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{MB}{ME}=\dfrac{IM}{IE}=\dfrac12$

$\Rightarrow ME = 2MB$

Khi đó:

$\quad ME + 2MF$

$= 2MB + 2MF$

$= 2(MB + MF)$

$\geqslant 2BF$

$= 2\sqrt{(5 - 3)^2 + (7-3)^2 + (2-5)^2}$

$= 2\sqrt{29}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow M = BF\cap (S)$

Vậy $(ME + 2MF)_{\min}= 2\sqrt{29}$