Đáp án:

\(\begin{array}{l}
\text{Bài 1:}\quad I = 22\\
\text{Bai 2:}\\
a)\quad I = \dfrac{17\sqrt{17} - 1}{6}\\
b)\quad I = \dfrac{11}{2}\\
\text{Bài 3:}\quad ​I = 9\sqrt{61}\\
\text{Bài 4:}\\
a)\quad y = C\sqrt{x^2 + 1} - 3\\
b)\quad y = \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\text{Bài 1:}\\
\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x^2 + 2xy + 3)dxdy\\
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad x = 2x\Leftrightarrow x = 0\\
\text{Khi đó miền $D:$}\\
\quad D = \{(x,y):\ 0\leqslant x \leqslant 2;\ \ x \leqslant y \leqslant 2x\}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_x^{2x}(x^2 + 2xy + 3)dy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left[\left(x^2y + xy^2 + 3y \right)\Bigg|_x^{2x}\right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2(4x^3 + 3x)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(x^4 + \dfrac{3x^2}{2} \right)\Bigg|_0^2\\
\Leftrightarrow I = 22\\
\text{Bai 2:}\\
a)\quad I = \displaystyle\int\limits_L2xds\qquad \begin{cases}(L): y = x^2\\O(0;0) \to A(2;4)\end{cases}\\
\text{Ta có:}\\
\quad L:\ \begin{cases}y = x^2\\0\leqslant x \leqslant 2\end{cases}\Rightarrow ds = \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx = \sqrt{1 + 4x^2}\ dx\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^22x.\sqrt{1 + 4x^2}\ dx\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{1}{6}\left(4x^2 + 1\right)^{\tfrac32}\Bigg|_0^2\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{17\sqrt{17} - 1}{6}\\
b)\quad I = \displaystyle\int\limits_{AB}(x^2y + 2xy)dx + (x-5y)dy\qquad \left(\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}: A(2;3) \to B(1;1) \right)\\
\text{Ta có:}\\
\quad \mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}:\ \begin{cases}y = 2x - 1\\x: 2 \to 1\end{cases}\Rightarrow dy = 2dx\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_2^1\left[x^2(2x-1) + 2x(2x-1) + 2(x-5(2x-1)) \right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_2^1(2x^3 + 3x^2 - 20x + 10)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^4}{2} + x^3 - 10x^2 + 10x\right)\Bigg|_2^1\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{11}{2}\\
\text{Bài 3:}\\
\quad I = \displaystyle\iint\limits_S(2x + 3y + 5z)ds\qquad (S):\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1;\ x\geqslant 0;\ y\geqslant 0;\ z \geqslant 0\\
\text{Biểu diễn tham số của mặt $S:$}\\\begin{cases}x = x\\y = y\\z = 2 - \dfrac{x}{2} -\dfrac{2y}{3}\end{cases}\quad \forall (x;y)\in D\\\text{Trong đó miền $D$ được biểu diễn:}\\\quad D = \left\{(x,y):\ 0\leqslant x \leqslant 4;\ \ 0\leqslant y \leqslant 3 - \dfrac{3x}{4}\right\}\\\text{Ta được:}\\\quad I = \displaystyle\iint\limits_D\left[2x + 3y + 5\left(2 -\dfrac{x}{2} - \dfrac{2y}{3}\right)\right]\sqrt{1 + \left(-\dfrac12\right)^2 + \left(-\dfrac23\right)^2}dxdy\\\Leftrightarrow I =\dfrac{\sqrt{61}}{6} \displaystyle\iint\limits_D\left(-\dfrac x2 -\dfrac y3 + 10\right)dxdy\\\Leftrightarrow I = \dfrac{\sqrt{61}}{6}\displaystyle\int\limits_0^4dx\displaystyle\int\limits_0^{3 -\tfrac{3x}{4}}\left(-\dfrac x2 -\dfrac y3 + 10\right)dy\\\Leftrightarrow I = 9\sqrt{61}\\
\text{Bài 4:}\\
a)\quad y' = \dfrac{xy + 3x}{x^2 + 1}\\
\Leftrightarrow \dfrac{y'}{y+3} = \dfrac{x}{x^2 + 1}\\
\Leftrightarrow \ln(y+ 3) = \dfrac12\ln(x^2 + 1) + C_1\\
\Leftrightarrow \ln(y+3) = \ln\left(C_1\sqrt{x^2 + 1}\right)\\
\Leftrightarrow y + 3 = e^{C_1}\sqrt{x^2 + 1}\\
\Leftrightarrow y = C\sqrt{x^2 + 1} - 3\\
b)\quad y' + \dfrac{3}{x}y = \dfrac{2}{x^3}\qquad (*)\\
\text{Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:}\\
\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{3}{x}dx}\\
\Leftrightarrow y= C.e^{-3\ln x}\\
\Leftrightarrow y = C.x^{-3}\\
\text{Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:}\\
\quad y = C(x).x^{-3}\\
\Rightarrow y' = C'(x).x^{-3} - 3C(x).x^{-4}\\
\text{Thay vào $(*)$ ta được:}\\
\quad C'(x).x^{-3} - 3C(x).x^{-4} + \dfrac{3}{x}\cdot C(x).x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}\\
\Leftrightarrow C'(x) = 2\\
\Leftrightarrow C(x) = 2x + C_1\\
\text{Do đó phương trình có nghiệm tổng quát là:}\ y = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{C_1}{x^3}\\\text{Ta lại có:}\\\quad y(1)= 0\\\Leftrightarrow 2 + C_1 = 0\\\Leftrightarrow C_1 = -2\\\text{Vậy phương trình có nghiệm là:}\ y = \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}
\end{array}\)