Đáp án:

$\begin{array}{l}
{R_d} = 15\Omega \\
{P_d} = \dfrac{{20}}{3}W
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

Khi K mở.

ĐIện trở tương đương của đoạn mạch là:
$\begin{array}{l}
{R_{td}} = \dfrac{{\left( {{R_1} + {R_d}} \right).{R_2}}}{{{R_1} + {R_d} + {R_2}}} + {R_3} = \dfrac{{\left( {45 + {R_d}} \right).90}}{{45 + {R_d} + 90}} + 45\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = \dfrac{{4050 + 90{R_d}}}{{135 + {R_d}}} + 45 = \dfrac{{10125 + 135{R_d}}}{{135 + {R_d}}}
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:

${I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_d}}} = \dfrac{{90\left( {135 + {R_d}} \right)}}{{10125 + 135{R_d}}}$

Cường độ dòng điện qua đèn là:
${I_d} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_d} + {R_2}}}.{I_m} = \dfrac{{90}}{{135 + {R_d}}}.\dfrac{{90\left( {135 + {R_d}} \right)}}{{10125 + 135{R_d}}} = \dfrac{{8100}}{{10125 + 135{R_d}}}$

Khi K đóng.

Điện trở R23Đ là:
${R_{23d}} = {R_2} + \dfrac{{{R_d}.{R_3}}}{{{R_d} + {R_3}}} = 90 + \dfrac{{45{R_d}}}{{45 + {R_d}}} = \dfrac{{4050 + 135{R_d}}}{{45 + {R_d}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R2 là:
${I_2} = {I_{23d}} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_{23d}}}} = \dfrac{{90\left( {45 + {R_d}} \right)}}{{4050 + 135{R_d}}}$

Cường độ dòng điện qua đèn lúc này là:
${I_d} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}.{I_2} = \dfrac{{45}}{{{R_d} + 45}}.\dfrac{{90\left( {45 + {R_d}} \right)}}{{4050 + 135{R_d}}} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135{R_d}}}$

Mà theo đề ta có vì khi K đóng hay mở thì đèn vẫn sáng bình thường nên cường độ dòng điện qua đèn khi K đóng hay K mở đều là như nhau:
$\begin{array}{l}
{I_d} = \dfrac{{8100}}{{10125 + 135{R_d}}} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135{R_d}}}\\
 \Leftrightarrow 8100 + 270{R_d} = 10125 + 135{R_d}\\
 \Leftrightarrow 135{R_d} = 2025 \Rightarrow {R_d} = 15\Omega 
\end{array}$

Cường độ dòng điện định mức của đèn là:
${I_d} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135{R_d}}} = \dfrac{{4050}}{{4050 + 135.15}} = \dfrac{2}{3}A$

Công suất định mức của đèn là:
${P_d} = {I_d}^{^2}.{R_d} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2}.15 = \dfrac{{20}}{3}{\rm{W}}$