a, $\frac{n³+2n}{n^{4}+3n²+1}$ 

Gọi $d= ( n³+2n; n^{4}+3n²+1)$

⇒ $n³+2n⋮$ $d$⇔ $n.( n³+2n)⋮$ $d$⇔ $n^{4}+2n²⋮$ $d$

và $n^{4}+3n²+1⋮$ $d$

⇒ $n^{4}+3n²+1-n^{4}-2n²⋮$ $d$

⇔ $n²+1⋮$ $d$

⇔ $n³+n⋮$ $d$

⇔ $n³+2n-n³-n⋮$ $d$

⇔ $n⋮$ $d$

Mà $n^{4}+3n²+1= n.(n³+3n)+1⋮$ $d$

⇒ $1⋮$ $d$

⇒ $d= 1$

⇒ $\frac{n³+2n}{n^{4}+3n²+1}$  là phân số tối giản

a) Chứng tỏ rằng n^3 + 2n / n^4 + 3n^2 + 1 là phân số tối giản với mọi n thuộc N.

Giải :

Gọi (n^3 + 2n / n^4 + 3n^2 + 1) là d (d thuộc N)

⇒ n^3 + 2n và n^4 + 3n^2 + 1 chia hết cho d

⇒ n (n^3 + 2n) chia hết cho d hay n^4 + 2n^2 chia hết cho d

Do đó (n^4 + 3n^2 + 1) - (n^4 + 2n^2) chia hết cho d hay n^2 + 1 chia hết cho d  (1)

⇒ (n^2 + 1) (n^2 + 1) chia hết cho d hay n^4 + 2n^2 + 1 chia hết cho d

⇒ (n^4 + 3n^2 + 1) - (n^4 + 2n^2 + 1) chia hết cho d hay n^2 chia hết cho d  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ (n^2 + 1) - n^2 chia hết chod hay 1 chia hết cho d

Do đó (n^3 + 2n ; n^4 + 3n^2 + 1) = 1 hoặc -1

⇒ n^3 + 2n / n^4 + 3n^2 + 1 là phân số tối giản

Chúc bạn học tốt !!!