Lời giải:

1.

Ta có:

$e^x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-x-1=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+x^4\epsilon{(x)}-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-x-1$~$\frac{1}{24}x^4$ khi $x→0$
$cosx+\frac{x^2}{2}-1=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+x^5\epsilon{(x)}+\frac{x^2}{2}-1=\frac{1}{24}x^4+x^5\epsilon{(x)}$~$\frac{1}{24}x^4$ khi $x→0$
⇒$\frac{e^x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-x-1}{cosx+\frac{x^2}{2}-1}$~$\frac{\frac{1}{24}x^4}{\frac{1}{24}x^4}→1$ khi $x→0$

2.

Từ $z+\frac{1}{z}=1⇒z^2-z+1=0⇒$\(\left[ \begin{array}{l}z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\\z=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=cos(\frac{-\pi}{3})+isin(\frac{-\pi}{3})\end{array} \right.\) 
Khi $z=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}$.
Ta có:
$z^{2009}+\frac{1}{z^{2009}}=(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})^{2009}+(\frac{1}{cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}})^{2009}$
$=(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})^{2009}+[cos(\frac{-\pi}{3})+isin(\frac{-\pi}{3}]^{2009}$
$=(cos\frac{2009\pi}{3}+isin\frac{2009\pi}{3})+(cos\frac{2009\pi}{3}+isin\frac{-2009\pi}{3})$
$=2cos(669\pi+\frac{2\pi}{3})=-2cos\frac{2\pi}{3}=1$
Vậy $z^{2009}+\frac{1}{z^{2009}}=1.$

3.

Ta có:

Ma trận ảo không gian tuyến tính là:

$\left(\begin{array}{ccc}(15^{18^{29^{45^{5n^{100}}}}}&...&0)\\0&(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-21916913&0\end{array}\right)^\frac{1}{32}$ 

$=\left(\begin{array}{ccc}(15^{18^{29^{45^{5n^{100}}}}}&...&0)\\0&\frac{n^2.(n+1)^2}{4}-21916913&0\end{array}\right)^\frac{1}{32}$ 

Hệ số nhân ảnh tuyến tính là $I_2=det_aI_2=1$(luôn thỏa)

Nhân ảnh đại số tuyến tính được xác định bằng công thức:
$(2)_\frac{1}{a}=(2)_{32}=(4294967296)$
⇒$(\frac{n^2.(n+1)^2}{4}-21916913)=(4294967296)$
$⇔\frac{n^2.(n+1)^2}{4}-21916913=4294967296$
$⇔n^2.(n+1)^2-1,726753684.10^{10}=0$
$⇔n^2.(n^2+2n+1)-1,726753684.10^{10}=0$
$⇔n^4+2n^3+n^2-1,726753684.10^{10}=0$
$⇔n=362$

(Lưu ý:Lưu $-1,726753684.10^{10}$ vào $A$ rồi calc ra 0 hoặc shift+calc phương trình bằng 362)

Chúc bạn học tốt!!!