$\\$

Giả sử `\triangle ABC` có `BN` là đường trung tuyến và `CM` là đường trung tuyến

Gọi đường trung tuyến còn lại là `AL`

Lấy `N` là trung điểm của `MH (H\in` tia đối của `NM`)

Gọi `K` là giao của `AH, BN`

Tứ giác `AHCM` có :

`N` là trung điểm của `AC,MH`

`<=> AHCM` là hình bình hành

`=>` $AH//CM$ và $AH=CM$

$AH//CM$ mà $CM\bot BN$ hay $CM\bot BK$

`=>BK\bot AH`

`AL` là đường trung tuyến nên `L` là trung điểm của `BC`

`=> BL =1/2 BC`

`\triangle ABC` có :

`M,N` là trung điểm của `AB, AC` (Do `CM,BN` là đường trung tuyến)

`=>MN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>` $MN//BC, MN=HN=\dfrac{1}{2}BC$

`HN=1/2 BC, BL=1/2 BC`

`=>HN=BL`

Tứ giác `BNHL` có :

`HN=BL`$,HN//BL (MN//BC)$

`<=> BNHL` là hình bình hành

`=>` $BN//HL$ và $BN=HL$

$BN//HL$ hay $BK//HL$ mà $BK\bot AH$

`=> AH\bot HL`

`\triangle AHL` vuông tại `H` có :

`AH^2+HL^2=AL^2` (Pitago)

`=> CM^2 + BN^2=AL^2`

Thật vậy ta có điều phải chứng minh.