Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.U = 40V\\
r = 8\Omega \\
b.{R_b} = 8\Omega \\
{P_{{b_{\max }}}} = 50W
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Ta có khi cường độ dòng điện qua mạch là I1:

$\begin{array}{l}
{U_1} = \dfrac{{{P_1}}}{{{I_1}}} = \dfrac{{48}}{2} = 24V \Rightarrow {I_1} = \dfrac{{U - {U_1}}}{r}\\
 \Leftrightarrow 2 = \dfrac{{U - 24}}{r} \Rightarrow r = \dfrac{{U - 24}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}$

Ta lại có khi cường độ dòng điện qua mạch là I2:

$\begin{array}{l}
{U_2} = \dfrac{{{P_2}}}{{{I_2}}} = \dfrac{{32}}{4} = 8V \Rightarrow {I_2} = \dfrac{{U - {U_2}}}{r}\\
 \Leftrightarrow 4 = \dfrac{{U - 8}}{r} \Rightarrow r = \dfrac{{U - 8}}{4}\left( 2 \right)
\end{array}$

Nên:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{U - 24}}{2} = \dfrac{{U - 8}}{4}\\
 \Leftrightarrow 2U - 48 = U - 8 \Rightarrow U = 40V\\
 \Rightarrow r = \dfrac{{U - 24}}{2} = \dfrac{{40 - 24}}{2} = 8\Omega 
\end{array}$

b. ĐIện trở tương đương của đoạn mạch là:

${R_{td}} = r + {R_b} = 8 + {R_b}$

Cường độ dòng điện qua biến trở là:

${I_b} = {I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{40}}{{8 + {R_b}}}$

Công suất tiêu thụ trên biến trở là:
${P_b} = {I_b}^2.{R_b} = \dfrac{{{{40}^2}{R_b}}}{{{{\left( {8 + {R_b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{1600}}{{{{\left( {\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}}$

Vậy để công suất trên đạt giá trị cực đại thì ${{{\left( {\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}$ đạt giá trị cực tiểu.

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }}}$ và ${\sqrt {{R_b}} }$ ta được:

$\begin{array}{l}
\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}}  \ge 2\sqrt {\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} }  = 2\sqrt 8  = 4\sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)^2} \ge {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 32
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} = \sqrt {{R_b}}  \Leftrightarrow {R_b} = 8\Omega $

Công suất tiêu thụ cực đại trên biến trở là:
$\begin{array}{l}
{P_b} = \dfrac{{1600}}{{{{\left( {\dfrac{8}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}} \le \dfrac{{1600}}{{32}}\\
 \Leftrightarrow {P_b} \le 50W \Leftrightarrow {P_{{b_{\max }}}} = 40W
\end{array}$