Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.{I_A} = 1,6A\left( {C \to D} \right)\\
b.{R_4} = 180\Omega \\
c.{R_4} = \dfrac{{180}}{{11}}\Omega 
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

a. Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
${R_{td}} = \dfrac{{{R_1}{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}} + \dfrac{{{R_2}{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}} = \dfrac{{30.90}}{{30 + 90}} + \dfrac{{60.20}}{{60 + 20}} = 37,5\Omega $

Cường độ dòng điện qua mạch là:
${I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{120}}{{37,5}} = 3,2A$

Cường độ dòng điện qua điện trở R1 là:

${I_1} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}}.{I_m} = \dfrac{{90}}{{30 + 90}}.3,2 = 2,4A$

Cường độ dòng điện qua điện trở R2 là:
${I_2} = \dfrac{{{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{{20}}{{60 + 20}}.3,2 = 0,8A$

Số chỉ của ampe kế là:
${I_A} = {I_1} - {I_2} = 2,4 - 0,8 = 1,6A$

Vậy chiều dòng điện qua Ampe kế có chiều từ C đến D

b. Khi ampe kế chỉ 0A mạch cầu trên trở thành mạch cầu cân bằng nên điện trở R4 là:
$\dfrac{{{R_1}}}{{{R_3}}} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_4}}} \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{{90}} = \dfrac{{60}}{{{R_4}}} \Rightarrow {R_4} = 180\Omega $

c. Điện trở tương đương của đoạn mạch lúc này là:
$\begin{array}{l}
{R_{td}} = \dfrac{{{R_1}{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}} + \dfrac{{{R_2}{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}} = \dfrac{{30.90}}{{30 + 90}} + \dfrac{{60{R_4}}}{{60 + {R_4}}}\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = 22,5 + \dfrac{{60{R_4}}}{{60 + {R_4}}} = \dfrac{{1350 + 82,5{R_4}}}{{60 + {R_4}}}
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua đoạn mạch lúc này là:
${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{120\left( {60 + {R_4}} \right)}}{{1350 + 82,5{R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R4 là:
${I_4} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{{60}}{{60 + {R_4}}}.\dfrac{{120\left( {60 + {R_4}} \right)}}{{1350 + 82,5{R_4}}} = \dfrac{{7200}}{{1350 + 82,5{R_4}}}$

Công suất tiêu thụ của điện trở R4 là:
${P_4} = {I_4}^2{R_4} = \dfrac{{{{7200}^2}{R_4}}}{{{{\left( {1350 + 82,5{R_4}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{7200}^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }} + 82,5\sqrt {{R_4}} } \right)}^2}}}$

Để công suất trên đạt giá trị cực đại thì ${{{\left( {\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }} + 82,5\sqrt {{R_4}} } \right)}^2}}$ đạt giá trị cực tiểu.

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }}}$ và ${82,5\sqrt {{R_4}} }$ ta được:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }} + 82,5\sqrt {{R_4}}  \ge 2\sqrt {\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }}.82,5\sqrt {{R_4}} }  = 2\sqrt {1350.82,5}  = 90\sqrt {55} \\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }} + 82,5\sqrt {{R_4}} } \right)^2} \ge {\left( {90\sqrt {55} } \right)^2} = 445500
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\dfrac{{1350}}{{\sqrt {{R_4}} }} = 82,5\sqrt {{R_4}}  \Leftrightarrow 82,5{R_4} = 1350 \Rightarrow {R_4} = \dfrac{{180}}{{11}}\Omega $