Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.{R_{AB}} = 20\Omega \\
b.{I_A} = 0,25A\\
c.\dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{4}{7}
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

Đổi: $0,1m{m^2} = 0,{1.10^{ - 6}}{m^2}$

a. ĐIện trở của dây AB là:

$R = \rho \dfrac{l}{S} = {4.10^{ - 7}}.\dfrac{5}{{0,{{1.10}^{ - 6}}}} = 20\Omega $

b. Điện trở của từng phần của biến trở lúc này là:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{R_{AC}} = \dfrac{2}{3}{R_{BC}}\\
{R_{AC}} + {R_{BC}} = {R_{AB}}
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{5}{3}{R_{BC}} = {R_{AB}}\\
 \Leftrightarrow {R_{BC}} = \dfrac{3}{5}{R_{AB}} = \dfrac{3}{5}.20 = 12\Omega \\
 \Rightarrow {R_{AC}} = {R_{AB}} - {R_{BC}} = 20 - 12 = 8\Omega 
\end{array}$

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
${R_{td}} = \dfrac{{{R_1}{R_{AC}}}}{{{R_1} + {R_{AC}}}} + \dfrac{{{R_2}{R_{BC}}}}{{{R_2} + {R_{BC}}}} = \dfrac{{8.8}}{{8 + 8}} + \dfrac{{6.12}}{{12 + 6}} = 8\Omega $

Cường độ dòng điện qua mạch là:
${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{12}}{8} = 1,5A$

Cường độ dòng điện qua điện trở R1 là:
${I_1} = \dfrac{{{R_{AC}}}}{{{R_1} + {R_{AC}}}}.{I_m} = \dfrac{8}{{8 + 8}}.1,5 = 0,75A$

Cường độ dòng điện qua điện trở R2 là:
${I_2} = \dfrac{{{R_{BC}}}}{{{R_2} + {R_{BC}}}}.{I_m} = \dfrac{{12}}{{6 + 12}}.1,5 = 1A$

Số chỉ của ampe kế là:
${I_A} = {I_2} - {I_1} = 1 - 0,75 = 0,25A$

c. Hiệu điện thế hai đầu điện trở R1 là:

${U_1} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}.U = \dfrac{8}{{6 + 8}}.12 = \dfrac{{48}}{7}V$

Hiệu điện thế hai đầu điện trở RBC là:
${U_{BC}} = \dfrac{{{R_{BC}}}}{{{R_{AB}}}}.U = \dfrac{{12{R_{BC}}}}{{20}} = \dfrac{{3{R_{BC}}}}{5}$

Điện trở RBC là:

$\begin{array}{l}
{U_V} =  - {U_1} + {U_{BC}} \Leftrightarrow {U_1} = {U_{BC}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{3{R_{BC}}}}{5} = \dfrac{{48}}{7} \Leftrightarrow {R_{BC}} = \dfrac{{80}}{7}\Omega 
\end{array}$

Vậy cần phải điều chình con chạy biến trở sao cho:

$\dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{{R_{BC}}}}{{{R_{AB}}}} = \dfrac{{\dfrac{{80}}{7}}}{{20}} = \dfrac{4}{7}$