Lời giải:

a) Ta có:

$AC\perp AB\quad (gt)$

$BD\perp AB\quad (gt)$

$\Rightarrow AC//BC$

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang

Lại có: $\widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ$

Do đó $ABDC$ là hình thang vuông

b) Gọi $E$ là trung điểm cạnh huyền $CD$

$\Rightarrow EC = ED = EO = \dfrac12ED$

$\Rightarrow E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle COD$, bán kính $EO$

Xét hình thang vuông $ABDC$ có:

$\begin{cases}OA = OB = \dfrac12AB\\EC = ED = \dfrac12ED\end{cases}$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của hình thang

$\Rightarrow OE//AC//BD$

$\Rightarrow OE\perp AB$

$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $(E)$ tại $O$

hay đường tròn $(E)$ tiếp xúc $AB$ tại $O$

c) Xét $\triangle AOC$ và $\triangle BDO$ có:

$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ\\\widehat{AOC} = \widehat{BDO}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{BOD}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle AOC \backsim \triangle BDO\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AO}{BD} = \dfrac{AC}{BO}$

$\Rightarrow AC.BD = AO.BO = R^2$ (đpcm)