a)

Xét $\triangle EBM$ vuông tại $E$ và $\triangle FCM$ vuông tại $F$ có:

$BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat{EBM} = \widehat{FCM}$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow \triangle EBM = \triangle FCM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b)

$AB = AE + EB$

$AC = AF + FC$

Mà $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)

      $EB = FC$ ($\triangle EBM = \triangle FCM$)

$\Rightarrow AE = AF$ $\Rightarrow F$ thuộc đường trung trực của $EF$ $\left ( 1 \right )$

Lại có $EM = FM$ ($\triangle EBM = \triangle FCM$) $\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của EF $\left ( 2 \right )$

Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ $\Rightarrow AM$ là đường trung trực của $EF$

Hay $AM \perp EF$

c)

$AM$ là trung tuyến của $\triangle ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $\left ( 3 \right )$

Xét $\triangle BAP$ vuông tại $B$ và $\triangle CAP$ vuông tại $C$ có:

$AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)

$AP$ là cạnh chung

$\Rightarrow \triangle BAP = \triangle CAP$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BP = CP$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AP$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Mà $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (theo $\left ( 3 \right )$)

$\Rightarrow AP \equiv AM$

$\Rightarrow A, P, M$ thẳng hàng