42. 

Ta có: ΔABC đều ⇒ AB = BC = CA; ∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = $60^{o}$

Vì ∠ECF là góc ngoài của ΔABC

⇒ ∠ECF = ∠BAC + ∠ABC = $60^{o}$ + $60^{o}$ = $120^{o}$ (1)

Vì ∠FAD là góc ngoài của ΔABC

⇒ ∠FAD = ∠ABC + ∠ACB = $60^{o}$ + $60^{o}$ = $120^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ECF = ∠FAD

Ta có: AC = BC (cmt); CF = BE(gt)

⇒ AC + CF = BC +  BE

⇒     AF   = CE 

Xét ΔEFC và ΔFDA có:

      CE = AF (cmt)

      ∠ECF = ∠FAD (cmt)

       CF = AD (gt)

⇒ ΔEFC = ΔFDA (c.g.c)

⇒ EF = FD (2 cạnh tương ứng) (3)

Vì ∠DBE là góc ngoài của ΔABC

⇒ ∠DBE = ∠BAC + ∠ACB = $60^{o}$ + $60^{o}$ = $120^{o}$

Mà ∠FAD = $120^{o}$ ⇒ ∠DBE = ∠FAD

Ta có: AC = AB (cmt); CF = AD (gt)

⇒ AC + CF = AB + AD

⇒     AF  = BD

Xét ΔFDA và ΔDEB có:

       AF = BD (cmt)

        ∠FAD = ∠DBE (cmt)

        AD = BE (gt)

⇒ ΔFDA = ΔDEB (c.g.c)

⇒ FD = DE (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ EF = FD = DE

⇒ ΔDEF đều (đpcm)