Đáp án:

Có \(7\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Giải thích các bước giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I(a, b, c)$, bán kính $R$ có dạng:

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$

Biến đổi phương trình ở đề bài về dạng phương trình mặt cầu như trên ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4mx + 4{m^2}} \right) + \left( {{y^2} + 2my + {m^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2mz + {m^2}} \right) + 3{m^2} - 28 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x + 2m} \right)^2} + {\left( {y + m} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = 28 - 3{m^2}\\
 \Rightarrow 28 - 3{m^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{28}}{3}\\
 \Rightarrow  - \sqrt {\dfrac{{28}}{3}}  \le m \le \sqrt {\dfrac{{28}}{3}} \\
m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { \pm 3; \pm 2; \pm 1;0} \right\}
\end{array}\)

Vậy có \(7\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.