Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m = \dfrac{-3-2\sqrt2}{3}\\m = \dfrac{-3+2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$y = f(x)= x^3 - 3x\qquad (C)$

$\Rightarrow f'(x)= 3x^2 -3$

$d: y = m(x+1) +2$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\quad x^3 - 3x = m(x+1) + 2$

$\Leftrightarrow (x^3 - 3x -2) - m(x+1)= 0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x^2 - x - 2) - m(x+1)= 0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x^2- x - m - 2)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x^2 - x - m - 2 = 0\qquad (*)\end{array}\right.$

$\Rightarrow A(-1;0)$

$d$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(-1)^2 - (-1) - m - 2 \ne 0\\\Delta = 1 + 4(m+2)> 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\m> -\dfrac94\end{cases}$

Khi đó $(*)$ có hai nghiệm $x_1;\ x_2$

Giả sử $x_1;\ x_2$ lần lượt là hoành độ của $B$ và $C$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1+x_2 = 1\\x_1x_2 = -m-2\end{cases}$

Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc

$\Leftrightarrow k_1.k_2 = -1$

$\Leftrightarrow f'(x_1).f'(x_2)= -1$

$\Leftrightarrow (3x_1^2-3)(3x_2^2-3)= -1$

$\Leftrightarrow 9[x_1^2x_2^2 -(x_1^2 + x_2^2) +1]= -1$

$\Leftrightarrow 9x_1^2x_2^2 - 9(x_1+x_2)^2 + 18x_1x_2 + 10 = 0$

$\Leftrightarrow 9(m+2)^2 - 9.1^2 - 18(m+2) + 10 = 0$

$\Leftrightarrow 9m^2 + 18m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac{-3-2\sqrt2}{3}\\m = \dfrac{-3+2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$ (nhận)