$\quad x^3 - 3x^2 - m^3 + 3m^2 = 0$

$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 = m^3 - 3m^2\quad (*)$

$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2$ và đường thẳng $y = m^3- 3m^2$

Số nghiệm của $(*)$ đúng bằng số giao điểm giữa hai đồ thị

Xét $y = f(x)= x^3 - 3x^2$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6x$

$y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&0&&2&&+\infty\\\hline y'&&+&0&-&0&+&\end{array}$

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0;\ y_{\max}= f(0)= 0$

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 2;\ y_{\min}= f(2)= -4$

Khi đó:

$(*)$ có $3$ nghiệm phân biệt khi $y = m^3 - 3m^2$ cắt $y = f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt

$\Leftrightarrow - 4 < m^3 - 3m^2 < 0$

$\Leftrightarrow m\in (-1;3)\backslash\{0;2\}$

    $x^3-3x^2-m^3+3m^2=0$

⇔ $x^3-m^3-3(x^2-m^2)=0$

⇔ $(x-m)(x^2+mx+m^2)-3(x-m)(x+m)=0$

⇔ $(x-m)(x^2+2m+m^2-3x-3m)=0$

⇔ $(x-m)[x^2+x(m-3)+m^2-3m]=0$ (*)

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$x^2+x(m-3)+m^2-3m$ (**) có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm phải khác m

⇔ $\left \{ {{\Delta>0} \atop {m^2+m(m-3)+m^2-3m\neq0}} \right.$  

⇔ $\left \{ {{(m-3)^2-4(m^2-3m)>0} \atop {3m^2-6m}\neq0} \right.$  

⇔ $\left \{ {{-3m^2+6m+9>0} \atop {3m(m-2)\neq0}} \right.$ 

⇔ $-1<m<3$, $m\neq0$, $m\neq2$