1. Ta có: $OM\perp  AB$ (giả thiết)

$\Rightarrow\widehat{AMO}=90^o$ nên $M$ thuộc đường tròn đường kính (AO) (1),

$ON\perp AC$ (giả thiết)

nên $\widehat{ANO}=90^o$ nên $N$ thuộc đường tròn đường kính (AO) (2),

$AH\perp OH$ (giả thiết) nên $\widehat{AHO}=90^o$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (3)

Từ (1), (2) và (3) điều suy ra 
$A,M,H,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính (AO)

2. Xét 2 tam giác vuông $\Delta AOM$ và $\Delta AON$ có:

$\widehat{MAO}=\widehat{NAO}$ (giả thiết cho AO là phân giác $\widehat{BAC}$)

AO chung

$\Rightarrow\Delta AOM=\Delta AON$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AM=AN$ (hai cạnh tương ứng) nên sđ cung AM= sđ cung AN

$\Rightarrow\widehat{MHA}=\widehat{NHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau sđ cung AM=sđ cung AN (cmt))

$\to HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$

3. Xét $\Delta KNO$ và $\Delta OAC$ ta có: $\widehat{KON}=\widehat{OCA}$ $(\text{do }+\widehat{NOC}=90^o)$

$\widehat{KNO}=\widehat{OAC}$ (góc nội tiếp chắn hai cung có sđ bằng nhau sđ cung MO=sđ cung NO)
$\to \Delta KNO\sim\Delta OAC(g.g)$

$\to\dfrac{KN}{OA}=\dfrac{NO}{AC}\to KN.AC=OA.ON$ (*)

Tương tự $\Delta KMO\sim\Delta OAB$ (g.g)

$\to\dfrac{KM}{OA}=\dfrac{MO}{AB}\to KM.AB=OA.OM$ (**)
Từ (*) mà (**) và $OM=ON\to KN.AC= KM.AB$

4. Dựng $RS//BC$ $(R\in AB, S\in AC)$

mà $BC\bot OK\Rightarrow RS\bot OK$ tại K nên $\widehat{OKR}=\widehat{OKS}=90^o$

Tứ giác $OKRM$ có:

$\widehat{OKR}+\widehat{OMR}=180^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $OKRM$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OM)$

$\Rightarrow\widehat{KRO}=\widehat{KMO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KO) (4)

Ta có: $\widehat{OKS}=\widehat{ONS}=90^o$

$\Rightarrow K, N$ cùng nhìn cạnh OS dưới một góc $90^o$

Nên $OKNS$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OS)$

$\Rightarrow\widehat{KNO}=\widehat{KSO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KO) (5)

Mà $\widehat{KMO}=\widehat{KNO}$ (do $\Delta OMN$ có OM=ON nên cân đỉnh O) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\widehat{KRO}=\widehat{KSO}$

$\Rightarrow \Delta ORS$ cân đỉnh O nên đường cao OK cũng là đường trung tuyến

nên K là trung điểm cạnh RS nên KR=KS

Gọi $AK\cap BC=E$

Do $RK//EB$ nên $\dfrac{KR}{EB}=\dfrac{AK}{AE}$ (định lý Ta-lét)

$KS//EC\Rightarrow\dfrac{KS}{EC}=\dfrac{AK}{AE}$ (định lý Ta-lét)

$\Rightarrow\dfrac{KR}{EB}=\dfrac{KS}{EC}$ mà $KR=KS$ (cmt)

$\Rightarrow EB=EC\Rightarrow E$ là trung điểm cạnh BC

suy ra I trùng E, suy ra A, K, I thẳng hàng.