Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: Vắn tắt

a) ∠BEC = ∠BFC = 90o ⇒ BCEF nội tiếp ⇒ ∠BCQ = ∠AEF = ∠BPQ ( đồng vị) ⇒ BPCQ nội tiếp)

b) Gọi H là trực tâm ΔABC thì AEHF và BDHF nội tiếp:

⇒ ∠BFD = ∠BHD = ∠AHE = ∠AFE = BPD ⇒ ΔDFP cân tại D

c) N là trung điểm cạnh huyền BC của Δ vuông BCN ⇒ ΔNCE cân tại N

⇒ ∠MNE = 2∠MCE = 2∠AFE = ∠MFD ⇒ ΔMDF ~ ΔMEN ( vì có chung góc)

⇒ MD/MF = ME/MN ⇔ MD.MN = ME.MF (1)

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có : MB.MC = ME.MF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MB.MC = DM.MN

⇔ (DM - DB)MC = DM.MN

⇔ DM.(MC - MN) = DB.MC

⇔ DM.CN = DB.(DM + CD)

⇔ DM.(DB + DN) = DB.DM + DB.CD ( vì CN = BN = DB + DN)

⇔ DM.DN = DB.DC (3)

Mà theo câu a) BPCQ nội tiếp ⇒ DP.DQ = DB.DC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ DM.DN = DP.DQ

Hệ thức nầy chứng tỏ 4 điểm M,P,N, Q cùng thuộc 1 đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp Δ MPQ luôn đi qua N cố định