Đáp án:

\[f = 20cm\]

Giải thích các bước giải:

* TH1: Vị trí ban đầu có d<f, ảnh qua TK là ảnh ảo:

Khoảng cách từ ảnh đến TK là:

\[d' =  - kd\]

Ta có:

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{{kd}}\]

* TH2: Ảnh thật

Khoảng cách từ vật đến TK là: \(d + 20\)

Khoảng cách từ ảnh đến TK là:

\[d' = k(d + 20)\]

Ta có:

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{d + 20}} + \dfrac{1}{{k(d + 20)}}\]

* TH3: Ảnh thật:

Khoảng cách từ vật đến TK là: \(d + 50\)

Khoảng cách từ ảnh đến TK là:

\[d' = \dfrac{{d + 50}}{k}\]

Ta có:

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{d + 50}} + \dfrac{k}{{d + 50}}\]

Suy ra:

\[\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{d + 50}} + \dfrac{k}{{d + 50}} = \dfrac{1}{{d + 20}} + \dfrac{1}{{k(d + 20)}}\\
 \Rightarrow (k + 1)k(d + 20) = (k + 1)(d + 50)\\
 \Rightarrow k = \dfrac{{d + 50}}{{d + 20}}
\end{array}\]

Mà:

\[\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{d + 20}} + \dfrac{1}{{k(d + 20)}} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{{kd}}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{d + 20}} + \dfrac{1}{{d + 50}} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{{d.\dfrac{{d + 50}}{{d + 20}}}}\\
 \Rightarrow d = 10cm \Rightarrow k = 2 \Rightarrow d' =  - 20cm\\
 \Rightarrow f = 20cm
\end{array}\]