1)

a) Áp dụng định lý cosin vào $\Delta ABC$ ta có:

$c^2=a^2+b^2-2a.b\cos C$

$\Rightarrow \cos C=-\dfrac{1}{32}\Rightarrow C≈91,79^o>90^o$

$\Rightarrow \Delta ABC$ có góc tù, góc tù đó lầ góc C.

b) Theo định lý sin

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ (trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối đỉnh của các góc A, B, C và R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Do $\cos C=-\dfrac{1}{32}$ sủ dụng công thức ${\sin}^2\alpha+{\cos}^2\alpha=1$

$\Rightarrow \sin C=\sqrt{1-{\cos}^2C}=\sqrt{\dfrac{1023}{1024}}$

$\Rightarrow R=\dfrac{c}{2\sin C}=\dfrac{13\sqrt{1024}}{2\sqrt{1023}}$

c) Áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác

$S_{\Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (trong đó a, b, c lần lượt là ba cạnh của tam giác và p là nửa chu vi của tam giác)

$\Rightarrow p_{\Delta ABC}=\dfrac{ab+c}{2}=\dfrac{31}{2}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt{\dfrac{31}{2}(\dfrac{31}{2}-8)(\dfrac{31}{2}-10)(\dfrac{31}{2}-13)}=\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}$

2) Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác $\Rightarrow C=180^o-A-B=75^o$

Áp dụng định lý sin

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ (trong đó, a, b, c lần lược là các cạnh đối đỉnh của 3 góc A, B, C, R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$)

$\Rightarrow a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}=\sqrt6$

$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=1+\sqrt3$

$R=\dfrac{a}{2\sin A}=\sqrt2$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\sqrt6\sin 75≈2,37$