a, Tam giác ABC cân tại A 

=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180- \widehat{BAC}}{2}\)= \(\frac{180-40}{2}\)= 70\(^{\circ}\)

   Tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến

=> AH cũng là đường cao

=> AH vuông góc với BC

b, Đường trung trực của đoạn AC cắt tia CB tại M

=> M thuộc đường trung trực của AC

=> MA=MC

=> Tam giác MAC cân tại M

=> \(\widehat{MAC}\) =\(\widehat{ACB}\)=\(\widehat{ABC}\) = 70\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{MAC}\) = 70\(^{\circ}\)

Ta có:

70\(^{\circ}\)= \(\widehat{MAC}\) = \(\widehat{MAH}\) + \(\widehat{HAC}\) =\(\widehat{MAH}\)+ \(\frac{\widehat{BAC}}{2}\)=\(\widehat{MAH}\)+\(\frac{40^{\circ}}{2}\)=\(\widehat{MAH}\) + 20\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{MAH}\)= 70\(^{\circ}\) - 20\(^{\circ}\)=50\(^{\circ}\)

c, Xét ΔNAC và ΔMBA, ta có:

AN= BM (gt)

AC=AB ( tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{NAC}\)= \(\widehat{MBA}\) ( cùng bù với góc 70\(^{\circ}\))

=> ΔNAC = ΔMBA ( c-g-c)

=> CN =AM ( đpcm)

d, Ta có : CN = AM ( câu c)

mà AM = CM ( tam giác AMC cân tại M)

=> CN = CM

=> tam giác NCM cân tại C

Tam giác NCM cân tại C có CI là đường cao ứng với cạnh MN

=> CI cũng là đường trung bình ứng với cạnh MN

=> I là trung diểm của MN ( đpcm)