a) Xét $\Delta$ vuông $ AOM$ và $\Delta$ vuông $ AON$ có:

AO chung

$AM=AN$ $(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2})$

$\Rightarrow\Delta AOM=\Delta AON$ (ch-cgv)

$\Rightarrow OM=ON$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Do P là trung điểm của $BC\Rightarrow AP$ là trung tuyến $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AP$ cũng là đường cao $\Rightarrow AP\bot BC$ (1)

Mà $O$ là giao điểm của 2 đường trung trực và $P$ là trung điểm của $BC\Rightarrow OP$ là đường trung trực của $\Delta ABC\Rightarrow OP\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AP//OP ($\bot BC$)

$\Rightarrow A,O,P$ thẳng hàng (đpcm

c) $\Delta ABC$ có $O$ là giao của 2 đường trung trực nên O cách đều 3 đỉnh của tam giác nên $OA=OC$

và do $\Delta ABC$ đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác nên $\widehat{OAD}=\widehat{OCE}=\dfrac{\widehat A}{2}=\dfrac{\widehat C}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o$

Xét $\Delta AOD$ và $\Delta COE$ có:

$AO=OC$ (cmt)

$\widehat{OAD}=\widehat{OCE}$ (cmt)

$AD=CE$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta AOD=\Delta COE$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{DOA}=\widehat{EOC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{DOE}=\widehat{DOA}+\widehat{AOE}$

$=\widehat{EOC}+\widehat{AOE}=\widehat{AOC}=180^o-(\widehat{OAC}+\widehat{OCA})$

$=180^o-(\dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{\widehat{C}}{2})=180^o-(30^o+30^o)=120^o$

Vậy $\widehat{DOE}=120^o$