Cm

a.Ta có: ABC+ACB+BAC=180° (tổng ba góc trong tam giác)

=>ABC=180°-ACB-BAC=180°-90°-60°=30° (1)

=>ABC=30° hay ABE=30°

Mặt khác: CAE=BAE (do AE là phân giác góc B)

=>CAE=BAE=$\frac{BAC}{2}$=$\frac{60°}{2}$=30° (2)

Từ (1) và (2) =>ABE=BAE (=30°)

=>ΔAEB cân tại E

Lại có: EK là đường cao ứng với cạnh AB

=>Đường cao EK đồng thời là đường trung tuyến

=>KA=KB

b.Xét ΔADB và ΔBCA có:

        ADB=BCA=90°

        AB chung

        DAB=CBA (do ABE=BAE)

=>ΔADB=ΔBCA (ch-gn)

=>AD=BC (2 cạnh tương ứng)

c.Vì ΔAEB cân tại E (cm câu a)

=>EB=EA (2 cạnh bên bằng nhau)

Xét ΔDEB và ΔCEA có:

       EDB=ECA=90°

       EB=EA (cmt)

      DEB=CEA (2 góc đối đỉnh)

=>ΔDEB=ΔCEA (ch-gn)

=>DE=CE (2 cạnh tương ứng)

=>ΔDEC cân tại E

=>EDC=$\frac{180°-DEC}{2}$

Mặt khác: ΔAEB cân tại E (cm câu a)

=>EAB=$\frac{180°-AEB}{2}$

Lại có: DEC=AEB (2 góc đối đỉnh)

=>EDC=EAB hay ADC=DAB

mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên:

=>CD//AB

d.Gọi H là giao điểm của CA,DB và EK

Ta có: DEB=CAE (do ΔDEB=ΔCEA)

Lại có: CAE=30° (cm câu a)

=>DEB=30°

=>DEB+ABE=30°+30°=60°

hay ABH=60°

Mặt khác BAH=60° (do BAC=60°)

=>ΔABH là Δ đều

=>3 đường cao HK,BA và AD đều là đường trung tuyến

=>E là trọng tâm của ΔABH

=>$\frac{EC}{BC}$=$\frac{ED}{AD}$ (=$\frac{1}{2}$)

=>EC=ED (do BC=AD)

và $\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$ 

=>3BE=2BC

=>3BE=2.9

=>3BE=18

=>BE=6 (cm)

Ta có: EC=BC-BE=9-6=3 (cm)

Lại có: EC=ED (cmt)

=>ED=3 (cm)

Vì ΔEDB vuông tại D nên:

  =>BE²=DB²+ED²

<=>DB²=BE²-ED²

<=>DB²=6²-3²

<=>DB²=36-9

<=>DB²=27

<=>DB=√27 (cm)

Vậy DB=√27 cm.

       

Bài 4:

a, AC,EK,BD cắt nhau tại I

Xét ΔADI và ΔADB có:

A1=A2 (GT)

AD là cạnh chung

ADI=ADB=90 độ

⇒ΔADI=ΔADB (g.c.g)

⇒AI=AB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAIB có: AI=AB và A=60 độ

⇒ΔAIB đều⇒KA=KB (tính chất đường cao trong tam giác đều)

b, Ta có: ΔABI đều

BC và AD là 2 đường cao

⇒AD=BC (tính chất đường cao trong tam giác đều)

c, Vì: ΔABI đều⇒CI=CD (tính chất đường cao trong tam giác đều)

Xét ΔICD cân tại I có:

I+C+D=180 độ

⇒I+2C=180 độ

⇒2C=180-I

⇒C=$\frac{180-I}{2}$ (1)

Xét ΔAIB đều có:

A+I+B=180 độ

⇒I+2A=180 độ

⇒2A=180-I

⇒A=$\frac{180-I}{2}$ (2)

Từ (1) và (2)⇒A=C=$\frac{180-I}{2}$

mà chúng ở vị trí đồng vị

⇒CD//AB

d, *Mình chưa nghĩ ra