Có $\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{a + n}{b + n}$

$\Rightarrow A = \dfrac{10^{11} - 1}{10^{12} - 1} <  \dfrac{10^{11} - 1 + 11}{10^{12} - 1 + 11} = \dfrac{10^{11} + 10}{10^{12} + 10} = \dfrac{10.\left ( 10^{10} + 1 \right )}{10.\left ( 10^{11} + 1 \right )} = \dfrac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} = B$

Vậy $A < B$ 

Xét $A = \dfrac{10^{11} - 1}{10^{12} -1}$

$⇒ 10A = \dfrac{10.(10^{11} - 1)}{10^{12} -1}$

$⇒ 10A = \dfrac{10^{12} - 10}{10^{12} -1}$

Tới bước này bạn thấy phần mẫu là $10^{12} -1$ phần tử là $10^{12} - 10$ chúng kém nhau $-9$ vậy phải tách $-10 = -1 - 9$ để có thể rút gọn thành 1, từ đó ta dễ dàng so sánh được A với B

$⇒ 10A = \dfrac{10^{12} - 1 - 9 }{10^{12} -1}$

$⇒ 10A = \dfrac{(10^{12} - 1) - 9 }{10^{12} -1}$

$⇒ 10A = \dfrac{(10^{12} - 1)  }{10^{12} -1} - \dfrac{9}{10^{12}-1}$

$⇒ 10A = 1 - \dfrac{9}{10^{12}-1} $


Tương tự ta xét $B = \dfrac{10^{10} +1}{10^{11} +1 }$

$⇒ 10B = \dfrac{10.(10^{10} +1)}{10^{11} +1 }$

$⇒ 10B = \dfrac{10^{11} +10}{10^{11} +1 }$

$⇒ 10B = \dfrac{10^{11} +1 + 9 }{10^{11} +1 }$

$⇒ 10B = \dfrac{10^{11} +1}{10^{11} +1 } + \dfrac{9}{10^{11}+1}$

$⇒ 10B = 1 + \dfrac{9}{10^{11}+1}$


Ta có: $- \dfrac{9}{10^{12}-1}  < \dfrac{9}{10^{11}+1}$

$⇒ 1 - \dfrac{9}{10^{12}-1}  < 1 + \dfrac{9}{10^{11}+1}$

$⇒ 10A < 10B$

$⇒ A < B $