a) Do $H$ là trung điểm của dây cung $AB\Rightarrow OH\bot AB$

Xét $\Delta KON$ và $\Delta KCH$ có:

$\widehat{OKN}=\widehat{CKH}$ (cùng là 1 góc)

$\widehat{KNO}=\widehat{KHC}=90^o$

$\Rightarrow \Delta KON\sim\Delta KCH$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{KN}{KH}=\dfrac{KO}{KC}$

$\Rightarrow KN.KC=KH.KO$

b) Tứ giác $OHMC$ có $\widehat{OHC}$ và $\widehat{OMC}$ cùng nhìn $OC$ dưới 1 góc bằng $90^o$ nên $OHMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OC)$

Tứ giác $OMCN$ có $\widehat{OMC}+\widehat{ONC}=90^o+90^o$

$\Rightarrow OMCN$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OC)$

Vậy $O,H,C,M,N$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OC)$

c) $\widehat{MCO}=\widehat{NCO}$ (do $CM, CN$ là hai tiếp tuyến của $(O)$, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow CO$ là phân giác $\widehat{MCN}$ (1)

Ta có $CM=CN$ (do $CM, CN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$)

$OM=ON$

$\Rightarrow OC$ là đường trung trực của $MN$

$I\in OC\Rightarrow IM=IN\Rightarrow\widehat{MNI}=\widehat{INC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn hai cùng bằng nhau $IM=IN$)

$\Rightarrow NI$ là phân giác $\widehat{MNC}$ (2)

Từ (1) và (2) tâm đường tròn nội tiếp của $\Delta CMN$ là $CO\cap NI=I$

$\Rightarrow I$ cách đều 3 cạnh của $\Delta CMN$