$a)$Điện trở của bóng đèn thứ nhất

$R_1=\dfrac{U_{đm_1}^2}{\mathscr{P_1}}=\dfrac{120^2}{60}=240Ω$

Điện trở của bóng đèn thứ hai:

$R_2=\dfrac{U_{đm_2}}{\mathscr{P_2}}=\dfrac{120^2}{100}=144Ω$

$b)$ Mắc hai bóng đèn song song với nhau.

$U_1=U_2=U=120V$

Cường độ dòng điện chạy qua đèn thứ nhất

$I_1=\dfrac{U_1}{R_1}=\dfrac{120}{240}=0,5A$

Cường độ dòng điện chạy qua bóng đèn thứ hai 

$I_2=\dfrac{U_2}{R_2}=\dfrac{120}{144}=\dfrac{5}{6}A$

Cường độ dòng điện định mức của đèn thứ nhất

$I_{đm_1}=\dfrac{\mathscr{P_1}}{U_{đm_1}}=\dfrac{60}{120}=0,5A$

Cường độ dòng điện định mức của đèn thứ hai

$I_{đm_2}=\dfrac{\mathscr{P_2}}{U_{đm_2}}=\dfrac{100}{120}=\dfrac{5}{6}A$

Ta có: $I_1=I_{đm_1}$

$I_2=I_{đm_2}$

$⇒$ Hai bóng đèn sáng bình thường

$c)$ Khi mắc hai bóng đèn nối tiếp với nhau

Điện trở tương đương của đoạn mạch

$R_{tđ}=R_1+R_2=240+144=384Ω$

Cường độ dòng điện chạy trong mạch chính

$I=\dfrac{U'}{R_{tđ}}=\dfrac{240}{384}=0,625A$

Cường độ dòng điện chạy qua bóng đèn thứ nhất và bóng đèn thứ hai

$I_1'=I_2'=I=0,625A$

Ta có:

$I_1'>I_{đm_1}$

$⇒$ Đèn sáng mạnh hơn bình thường. Sẽ bị hỏng

$I_2'<I_{đm_2}$

$⇒$ Đèn sáng yếu hơn bình thường