Giải thích các bước giải:

Ta có :
$n^2-n=n(n-1)\quad\vdots\quad 2$ vì $n, n-1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp

$\to S=a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2-(a_1+a_2+..+a_{100})$ 

$\to S=(a_1^2-a_1)+(a_2^2-a_2)+(a_3^2-a_3)+..+(a_{100}^2-a_{100})\quad\vdots\quad 2$ 

Mà $a_1+a_2+..+a_{100}=22015$ lẻ

$\to a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2$ lẻ

$\to a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2$ không chia hết cho 2

               Giải

Ta luôn luôn có :

$n^{2}$ -  $n$=$n.n$ - $n$=$n(n-1)$

Nxét: $n$ và $n-1$ là  $2$  số tự nhiên liên tiếp⇒$n(n-1)$ ⋮ $2$ (1)

⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ + $a_{2}$ +($a_{3}$+......+$a_{100}$)

⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ - $a_{2}$ -$a_{3}$-......-$a_{100}$

⇒S=($a^{2}_{1}$ - $a_{1}$)  + ($a^{2}_{2}$ - $a_{2}$) + ($a^{2}_{3}$ - $a_{3}$) + .......+($a^{2}_{100}$ - $a_{100}$) ⋮ 2 [từ (1)]

Mà từ đề bài $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + ....+$a_{100}$=22015 là một số lẻ 

⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ cũng tính chẵn lẻ⇒lẻ.

Mặt $\neq$ :một số lẻ không thể chia hết cho $2$

⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$

Vậy $a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$ (đpcm)